Анализ и интерпретация результатов моделирования

Цель любого эксперимента (натурного или расчетного) заключается в получении опытных данных об исследуемой системе. Опытные данные могут накапливаться либо с помощью активного эксперимента, либо с помощью пассивных наблюдений. В случае активного эксперимента воздействие на систему осуществляется по заранее спланированной программе – плану эксперимента.

В любом случае исследуемая система (объект) характеризуется:

а) входными параметрами x_i, i = 1 … n_i;

б) выходными параметрами y_j, j = 1 … n_j;

в) внутренними (собственными) параметрами h_k Î H, k=1,n_k;

г) параметрами возмущающих воздействий v_l, l = 1 … n_l.

Параметры возмущающих воздействий оказывают влияние на систему и проявляют себя как случайные величины или случайные функции.

Одной из основных задач активного эксперимента является выявление взаимосвязей между входными и выходными параметрами системы и представление их в виде математической модели:

y = f(x₁, x₂, x₃). (6.8)

Входные параметры называют факторами. Каждый фактор имеет область определения (область допустимых значений). Комбинация факторов рассматривается как факторное пространство. Область возможных комбинаций факторов определяется планом эксперимента.

Факторы должны удовлетворять следующим требованиям:

а) управляемость;

б) однозначность (трудно управлять фактором, который в свою очередь является функцией других факторов);

в) независимость, т. е. возможность установки любого уровня фактора вне зависимости от уровней других факторов.

Математическая обработка результатов спланированного эксперимента позволяет получить уравнение регрессии, которое чаще представляется в виде полинома:

y = a₀ + ∑a_i∙x_i + ∑a_ij∙x_i∙x_j + ∑a_ii∙x_ii∙x²_i, (6.9)

где a_i, a_ii, a_ij - коэффициенты регрессии.

Для правильного выбора степени полинома необходимо учитывать требования простоты и адекватности.

Проверка адекватности модели позволяет оценить совпадение результатов расчета по полученной модели с опытными данными. Такая проверка выполняется с помощью соответствующих критериев, например, F -критерия Фишера:

, (6.10)

где - дисперсия адекватности;

- дисперсия, характеризующая ошибку опыта.

Модель считается адекватной, если значение F, полученное по формуле (6.10), не превышает соответствующего табличного значения при заданном уровне значимости.

6.9.1 Планирование эксперимента. Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется такой эксперимент, при реализации которого определяется значение функции отклика при всех возможных сочетаниях уровней варьируемых факторов. Если имеется k факторов, каждый из которых может устанавливаться на q уровнях, то для осуществления ПФЭ необходимо поставить n = q^k опытов. Если, например, используются два фактора, каждый из которых может устанавливаться на двух уровнях, то для реализации ПФЭ необходимо провести четыре опыта [8, 9].

Планирование, проведение и обработка результатов ПФЭ состоит из следующих обязательных этапов:

а) кодирование факторов;

б) составление плана-матрицы эксперимента;

в) реализация плана эксперимента;

г) проверка воспроизводимости параллельных опытов;

д) расчет коэффициентов регрессии линейной модели;

е) проверка адекватности линейной модели;

ж) оценка значимости коэффициентов регрессии.

Планирование эксперимента начинают с выбора влияющих факторов. В качестве таких факторов можно выбрать, например, интенсивность входного потока заявок l или интенсивности потоков обслуживания заявок в первой либо во второй фазах системы (μ₁ или μ₂).

После выбора факторов для каждого из них необходимо установить нулевой уровень (среднее, исходное значение) r_о и интервал варьирования (Dr), а также верхний уровень фактора r_в путем прибавления к основному уровню интервала варьирования и его нижний уровень r_н путем вычитания интервала варьирования из основного уровня. Затем для того чтобы построить стандартную ортогональную матрицу планирования эксперимента необходимо перевести натуральные значения факторов в безразмерные величины, т. е. выполнить их кодирование, используя следующие формулы:

;

.

Результаты кодирования факторов необходимо свести в таблицу 6.1.

Таблица 6.1 – Кодирование факторов

Наименование уровня фактора	Обозначение (кодир-е значения	Значение μ1	Значение μ2
Основной rо		2,5	3,0
Верхний rв	+1	4,0	3,5
Нижний rн	-1	1,0	2,5
Интервал варьирования (Dr)	Δ	1,5	0,5

После этого можно составить план-матрицу эксперимента (таблица 6.2). Строки этой таблицы соответствуют различным опытам, а столбцы 2 и 3 – значениям уровней факторов.

Таблица 6.2 - План-матрица эксперимента

Номер опыта	х1	х2	х1х2	yu1	yu2
	+1	+1	+1
	+1	–1	–1
	–1	+1	–1
	–1	–1	+1

Приведенную в таблице 6.2 матрицу называют расширенной матрицей эксперимента, т. к. в нее введен столбец 4, позволяющий оценить коэффициент регрессии при взаимодействии факторов x₁ и x₂.

В процессе реализации плана эксперимента заполняются столбцы 5 и 6. Причем каждый опыт проводится как минимум два раза. В столбце 7 записываются вычисленные средние значения результатов двух серий эксперимента.

Далее необходимо проверить воспроизводимость параллельных опытов при одинаковом их числе на каждом сочетании уровней факторов по критерию Кохрена.

, (6.11)

где – дисперсия, характеризующая рассеяние результатов на u – м сочетании уровней факторов, ;

- среднее значение функции отклика в u -й строке матрицы планирования эксперимента, ;

– наибольшая из дисперсий в строках плана;

s_t(0,05; k₁; k₂)- табличное значение критерия Кохрена при пятипроцентном уровне значимости;

0,05 – уровень значимости (значение вероятности, отвечающее событиям, которые в данных условиях эксперимента можно считать практически невозможными);

k₁ – число опытов в плане эксперимента, k₁ = n;

k₂ – число степеней свободы каждой оценки, k₂ = m - 1;

m – число параллельных опытов.

Таблица значений критерия Кохрена приведена в приложении Б, а также в [3, 41].

Если проверка по критерию Кохрена (6.23) не выполняется, то следует обратить внимание на опыт с максимальным значением и, возможно, повторить его. В случае воспроизводимости процесса переходят к расчету коэффициентов регрессии:

, (6.12)

, (6.13)

. (6.26)

После вычисления коэффициентов регрессии a_i необходимо проверить их значимость. Погрешность определения указанных коэффициентов оценивается дисперсией . При этом дисперсии оценок всех коэффициентов регрессии одинаковы. Величина зависит только от дисперсии воспроизводимости эксперимента и числа опытов

. (6.14)

Проверка значимости коэффициентов регрессии выполняется с помощью t -критерия Стьюдента, расчетное значение которого

. (6.15)

Полученное значение t_i для каждого коэффициента регрессии сравнивается с табличным t(0.05; k₁), определяемым при принятом уровне значимости и числе степеней свободы k₁, с которым определяется дисперсия воспроизводимости.

Если t_i < t(0.05; k₁), то коэффициент a_i незначим и член уравнения регрессии, включающий этот коэффициент, исключается из математической модели.

Если же t_i > t(0.05; k₁), то коэффициент a_i значим и его следует сохранить в регрессионной модели. В этом случае значение коэффициента a_i больше ошибки опыта, которую можно оценить величиной доверительного интервала D a_i, определяемого по формуле

Da_i = ±t·S_ai. (6.16)

Таблица значений критерия Стьюдента приведена в приложении В.

Далее необходимо привести полученную линейную модель эксперимента в виде (6.20).

Следующим этапом работы является проверка адекватности полученной модели с помощью критерия Фишера. Модель считается адекватной, если имеет место неравенство

, (6.17)

где – дисперсия адекватности, ;

y_pu – расчетное значение функции отклика в u -м опыте.

F(0,05; k₃; k₁) – табличное значении критерия Фишера при 5-процентном уровне зависимости;

k₃ – число степеней свободы дисперсии адекватности, k₃= n- k - 1.

Таблица значений критерия Фишера приведена в приложении Г.

Если после расчетов окажется, что условие (6.30) не выполняется, то это значит, что полученная модель не адекватно описывает реальный процесс. В таком случае, скорее всего, придется сузить интервалы варьирования факторов и весь процесс планирования эксперимента повторить.

Если же условие проверки по критерию Фишера выполнено, то полученная модель является адекватной и можно перейти к построению математической модели в натуральных единицах. Для этого необходимо подставить вместо x_i в полученное уравнение регрессии выражение , используемое при кодировании факторов. В результате преобразования получим модель в натуральных единицах, например в виде:

y = c_o + c₁·m₂. (6.18)

6.9.2 Регрессионный анализ. Для проведения регрессионного анализа необходимо выполнение следующих условий:

а) результаты эксперимента y₁, y₂,…, y_n. представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины;

б) независимые переменные x₁, x₂,…, x_n измеряются с пренебрежительно малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении y₁;

в) при проведении эксперимента с объемом выборки N при условии, что каждый опыт повторен m раз, выборочные дисперсии должны быть однородны.

Для повышения достоверности исходных данных каждый опыт эксперимента необходимо провести несколько раз. Затем для каждой серии параллельных опытов вычислить средние значения результатов эксперимента каждого опыта и свести их в таблицу.

После этого следует построить график зависимости, например, вероятности отказа от интенсивности потока обслуживания второй фазы (рисунок 6.2, график 1).

На поле этого графика можно построить средствами пакета MS Excel линию тренда (рисунок 6.2, график 2) и отобразить его уравнение, чтобы облегчить выбор аппроксимирующего выражения.

Далее необходимо дать оценку степени совпадения линии тренда и графика исходной зависимости. После чего можно отметить, что зависимость вероятности отказа от интенсивности потока обслуживания второй фазы носит, в данном случае, экспоненциальный характер.

1 – расчетный эксперимент; 2 – линия тренда; 3 – регрессионная модель

Рисунок 6.2 – Зависимость вероятности отказа от интенсивности потока обслуживания второй фазы и линия тренда

Рассмотрим пример построения регрессионной модели, используя эмпирическую зависимость вида

y = a×e^bx. (6.19

Неизвестными в данной модели являются коэффициенты a и b. Для определения указанных неизвестных сначала прологарифмируем уравнение (6.19):

Ln(y) = Ln(a) + b×x×Ln(e). (6.20)

Так как Ln(e) = 1, то выражение (6.20) можно записать в виде:

Ln(y) = Ln(a) + b×x. (6.21)

Коэффициенты a и b найдем с помощью метода наименьших квадратов при условии [7]

, (6.22)

где y_ri – значение у, полученное в результате расчетного эксперимента;

n – количество экспериментальных данных – значений x_i и y_i.

Подставим выражение (6.21) в (6.22) и получим:

® 0. (6.23)

Введем обозначение Ln(a) = с, тогда

® 0. (6.24)

Найдем частные производные от выражения (6.24) по с и по b и приравняем их к нулю. Получим систему из двух уравнений:

(6.25)

Подставим в систему (6.25) численные значения соответствующих сумм, рассчитанных в исходной таблице. Расчеты можно выполнить с помощью программы MS Excel. В результате получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

(6.26)

Для решения системы (6.26) можно воспользоваться математическими функциями МОБР и МУМНОЖ мастера функций программы MS Excel, программой MathCad или другими доступными программными средствами.

Систему уравнений (6.39) можно решить также с помощью команды "Сервис, Поиск решения" программы Excel, а также в среде программ MatLab, MathCad и т. др.

Решение системы (6.39): b = -13,259; с = -0,0176.

Так как с = Ln(a), то а = е^с = е^-0,0176 = 0,983.

Таким образом, получаем уравнение

y = 0,983× e ^–13.259×x. (6.27)

При использовании функций МОБР и МУМНОЖ программы Excel следует иметь в виду, что перед вызовом данных функций необходимо выделить блок ячеек результата, затем ввести в соответствующие поля окна мастера функции блоки ячеек исходных матриц и нажать клавишу Enter, удерживая нажатыми клавиши Ctrl и Shift.

На рисунке 6.2 график 3, построенный по полученному уравнению регрессии (6.27), полностью совпал с линией тренда, построенной с помощью программы MS Excel.

Выводы

Здесь следует привести выводы об эффективности разработанного ПО и возможных областях его применения, а также показатели эффективности функционирования моделируемой системы и регрессионной модели.

В данном пункте необходимо отметить, что в работе разработана математическая модель системы, адекватно отражающая исследуемую систему или процесс. По результатам тестирования, проведенного расчетного эксперимента и анализа полученных результатов, можно сделать следующие выводы, например: увеличение параметра (указать параметр) в пределах (указать, в каких пределах) приводит к увеличению (либо уменьшению) (указать, на сколько) выходного параметра (указать, какого и в каких пределах) или не оказывает на него влияния и т. д. 3 … 4 вывода.

Заключение

В заключении необходимо сформулировать основные полученные в процессе выполнения выпускной работы результаты. Например, необходимо отметить, что в ходе выполнения выпускной работы решена поставленная задача: разработаны имитационная математическая модель системы, моделирующий алгоритм и программное обеспечение. С помощью разработанного программного обеспечения получены значения необходимых выходных параметров и выходные характеристики. Выполнены расчетные исследования, проведено планирование расчетного эксперимента (или регрессионный анализ), сделаны соответствующие выводы.

7 Правила подготовки магистрантов и соискателей к дифференцированному зачету кандидатского минимума по дисциплине «Основы информационных технологий»

К сдаче дифференцированного зачета по дисциплине «Основы информационных технологий» допускаются лица, прошедшие курс обучения на кафедре «Автоматизированные системы управления», выполнившие и успешно защитившие выпускную работу.

Дифференцированный зачет по основам информационных технологий сдается в объеме, который складывается из двух частей: типовой программы – минимум, утвержденной ВАК Республики Беларусь, и дополнительной программы, составленной доцентом, преподающим данную дисциплину, совместно с научным руководителем и магистрантом (соискателем) с учетом специфики соответствующей отрасли науки, и утвержденной Председателем Совета университета. Упомянутый выше объем знаний и определяет требования к теоретическим знаниям лиц, сдающих кандидатский дифференцированный зачет по основам информационных технологий.

Требования к практическим навыкам лиц, сдающих кандидатский дифференцированный зачет по основам информационных технологий, также определяются указанной выше типовой программой – минимум, утвержденной ВАК Республики Беларусь. Эти требования определяют следующие практические навыки магистрантов (соискателей) в области информационных технологий:

а) уверенной работы с операционной системой Windows и офисными приложениями (MS Word, MS Excel, MS Visio и т. п.);

б) постановки и решения задач в среде математических процессоров (MathCad, MatLab и его приложением Simulink);

в) работы с приложениями машинной графики (Adobe Photoshop, Corel Draw и т. д.);

г) разработки презентаций в среде программы Power Point либо аналогичной по назначению программе;

д) создания и ведения баз данных, а также построения запросов и отчетов в среде программы MS Access;

е) пользования основными сервисами Internet;

ж) создания документов в формате HTML в том числе с использование скриптовых процедур;

з) разработки алгоритмов и прикладных программных средств на языках высокого уровня для решения прикладных задач;

и) использования математических методов решения прикладных задач в своей предметной области.

Кроме этого магистранты (соискатели) должны иметь представление о современном развитии информационных технологий в своей и смежных областях, а также о методах и средствах защиты информации в персональных и сетевых компьютерах.

Список литературы

1 Тарасик, В. П. Математическое моделирование технических систем: учебник для вузов / В. П. Тарасик. – Минск.: ДизайнПРО, 2005. – 460 с.: ил.

2 Исследования и изобретательство в машиностроении: учеб. пособие для студентов машиностроительных специальностей вузов / М. Ф. Пашкевич [и др.]; под общ. ред. М. Ф. Пашкевича. – Могилев: Белорус.-Рос. ун-т, 2005. – 294 с.: ил.

3 Хроленко, А. Т. Современные информационные технологии для гуманитария / А. Т. Хроленко, А. В. Денисов. – СПб: Флинта, 2010г., 128с.

4 Сеннов, А.С. Access 2010. Учебный курс / А.С. Сеннов. – СПб: Питер, 2010, 288с.

5 Боровиков, В. П. Искусство анализа данных на компьютере / В. П. Боровиков. -СПб.: Питер, 2001.

6 Гарнаев, А. Ю. Ехсеl / А. Ю, Гарнаев. –СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

7 Информатика: учебник. / Под ред. проф. Н. В. Макаровой. - 3-е перераб. изд.. – М.: Финансы и статистика, 2001.

8 Информатика для юристов и экономистов / Под ред. С. В. Симоновича. –СПб.: Питер, 2002.

9 Карпова, Т. О. Базы данных: модели, разработка, реализация / Т. О. Карпова. – СПб: Питер, 2001.

10 Макаров, Е. Г. Инженерные расчеты в МаtCad / Е. Г. Макаров. – СПб: Питер, 2003.

11 Мартынова, Н. Н. Введение в МАТLAB / Н. Н. Мартынова. – М.: Кудиц Образ, 2002.

12 Муртазин, Э. В. Internet / Э. В. Муртазин. – М.: ДМК-Пресс, 2002.

13 Основы информатики: учеб. пособие / А. Н. Морозевич и др. / Под. ред. А. Н. Морозевича. – Мн.: Новое знание, 2003.

14 Петров, М. Н. Компьютерная графика / М. Н. Петров, В. П. Молочков. – СПб: Питер, 2002.

15 Соколов, А. В. Защита от компьютерного терроризма / А. В. Соколов, О. М. Степанюк. – СПб.: БХВ-Петербург,2002.

16 Банди, Б. Методы оптимизации. Вводный курс / Б. Банди. – М.: Мир, 1989.

17 Блаттнер, П. Использование МS Ехсеl 2002. Специальное издание: пер. с англ. / П. Блаттнер – М.: Издательский дом «Вильяме», 2002.

18 Брукшир, Дж. Г. Введение в компьютерные науки / Дж. Г. Брукшир. - М. – СПб. Киев: Издательский дом «Вильяме», 2001.

19 Вейскас, Д. Эффективная работа с МS Ассеss 7.0: пер. с англ. / Д. Вейскас – СПб.: Питер, 1997.

20 Виллет, Э. МS Оfficе 2000. Библия пользователя: учебное пособие / Э. Виллет, Д. Кроудер, Р. Кроудер: пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильяме», 2001.

21 Гайдамакин, Н. А. Автоматизированные информационные системы, базы и банки данных. Вводный курс: учебное пособие / Н. А. Гайдамакин. – М.: Гелиос АРВ, 2002.

22 Говорухин, В. Компьютер в математическом исследовании: учебный курс / В. Говорухин, В. Цибулин – СПб.: Питер, 2001.

23 Дейт, К. Введение в системы баз данных: пер. с англ. /К. Дейт – 6-е изд. – СПб.: Издательский дом «Вильяме», 2000.

24 Дронов, В. А. WEB-дизайн / В. А. Дронов. – СПб.: БХВ Петербург, 2002.

25 Дунаев, В. В., Дунаев В. В. Графика для Wеb / В. В. Дунаев, В. В. Дунаев. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003.

26 Железко, Б. А. Информационно-аналитические системы поддержки принятия решений / Б. А. Железко, А. Н. Морозевич. – Мн. 1999.

27 Информатика и математика для юристов / Под ред. Ч. А. Андриашина. –М.:Юнити Дана, 2001.

28 Карлберг, К. Бизнес-анализ с помощью Ехсеl / К. Карлберг. – М.: Издательский дом «Вильяме», 2000.

29 Корнеев, В. В. Базы данных. Интеллектуальная обработка информации / В. В. Карнеев, А. Ф. Гареев, С. В., Васютин и др – М. 2001.

30 Миронов, Д. Д. Компьютерная графика в дизайне / Д. Д. Миронов. – М.: Образ, 2002.

31 Об электронном документе. Закон Республики Беларусь (10 января 2000 г., №3573).

32 Основы экономической информатики / Под ред. А.Н.Морозевича. – Мн.: Мисанта, 1998.

33 Праг, К. Асеева 2000. Библия пользователя / К. Праг, М., Ирвин: пер. с англ. – М.. Издательский дом «Вильяме», 2001.

34 Уокенбах, Дж. Ехсеl 2000. Библия пользователя: пер. с англ. / Дж.Уокенбах / – М.: Издательский дом «Вильямc», 2001.

35 Харин, Ю. С. Основы имитационного и статистического моделирования / Ю. С. Харин, В. И. Малюгин, В. П. Кирлица. и др. – Мн.: Дизайн ПРО, 1997.

36 Хислоп, Б. Библия пользователя: учебное пособие: пер с англ. / Б. Хислоп, Д. Энжелл – М.: Издательский дом «Вильяме», 2001.

37 Экономическая информатика/ Под ред. В.В Евдокимова. – СПб.: Питер, 1997.

38 Юнкеров, В. И. Математико-статистическая обработка данных медицинских исследований / В. И. Юнкеров, С. г. Григорьев – СПб.:, 2002.

39 Ясюкович Э.И. Информатика: методические указания к лабораторным работам для студентов специальности 1-7- 02 01 «Промышленное и гражданское строительство». Часть 2 / Э. И. Ясюкович. – Могилев.: ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет», 2014. – 32 с.

40 Ясюкович Э.И. Моделирование систем: методические указания к курсовому проекту для студентов специальности Т.10.01.00 «Автоматизированные системы обработки информации» – ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет», 2006. – 24 с.