Предел и непрерывность функции одного аргумента

3.1. Вычисление пределов

Определение понятия функции одного аргумента

Если каждому элементу х из множества Х () поставлен в соответствие определенный элемент y из множества Y (), то говорят, что на множестве Х задана функция со значениями во множестве Y. Элементы называют значениями аргумента, а элементы - значениями функции. Множество Х называется областью определения функции, а множество всех значений функции – областью значений функции. В случаях, когда множества Х и Y - числовые множества, соответствующие функции, называют числовыми функциями.

Основные элементарные функции

Степенная , Показательная , Логарифмическая , Тригонометрические , Обратные тригонометрические , постоянная .

Определение элементарных функций

Элементарными называют функции, которые получаются из основных элементарных функций в результате применения к ним конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции (суперпозиции) функций.

Определение предела функции f(x) в точке x = a.

Число A называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к a (), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что для всех значений х из области определения функции, удовлетворяющих неравенству , следует выполнение неравенства . Используя логические символы, можно записать:

Геометрический смысл этого определения заключается в следующем.

Какую бы узенькую полоску шириной 2 , параллельную оси абсцисс и содержащую прямую y = A посередине ( - окрестность точки y = A: ), мы ни выделили, всегда существует такой симметричный интервал длиной 2 с центром в точке х = а, (проколотая - окрестность точки х = а: ), что для всех х из проколотой - окрестности точки х = а значения функции f (x) попадают в - окрестность точки y = A:

Для любого ипсилон больше нуля положительное дельта найдется,

Такое, что если х из проколотой дельта – окрестности точки а любой берется,

Значение функции f (х) в ипсилон – окрестность точки А попадется.

Определение предела функции при

Число А называется пределом функции y = f(x) при стремлении х к бесконечности, если для любого положительного сколь угодно малого числа существует сколь угодно большое положительное число M, что для всех х из области определения функции из выполнения неравенства следует выполнение неравенства . То есть

В частности, если , то

если же , тогда

Неравенство - эквивалентно системе двух неравенств: .

Определение непрерывной в точке х = x0 функции

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 , если предел функции в точке x = х0 равен значению функции в этой точке: .

1.6.

Три условия для непрерывной в точке x = х0 функции

1. Функция f (x) определена в точке x= х0. 2. Существует предел функции f(x) при х0. 3. Предел функции f(x) в точке x= х0 совпадает со значением функции f(x) в этой точке.

1.7.

Теорема о непрерывности элементарных функций

Все элементарные функции непрерывны во всех точках области определения этих функций. Для элементарных функций предел функции в точке равен значению этой функции в данной точке.

Раскрытие неопределённости вида