Нахождение обратной матрицы

При нахождении обратной матрицы разрешается применять только три первых вида ЭП. Преобразования столбцов не допускаются. Так же, как и при вычислении ранга матрицы, после проведения каждого ЭП строк получается матрица, эквивалентная предыдущей относительно ЭП, но, вообще говоря, отличная от неё. Поэтому знак равенства между матрицами ставить нельзя.

Общая схема вычисления обратной матрицы такова:

Имеется квадратная матрица A порядка n, определитель которой отличен от 0 (только для таких матриц существуют обратные).

1) Приписываем к ней справа единичную матрицу порядка n. В результате получаем матрицу размера n 2 n

2) Используя только ЭП строк, переходим к матрице, имеющей 1-упрощенный вид. Затем получаем матрицы, имеющие 2-, 3-,.., n -упрощенный вид. Это возможно, потому что определитель исходной матрицы не равен 0.

В итоге получаем матрицу, первые n столбцов которой образуют единичную матрицу, а остальные n столбцов – матрицу обратную исходной.

Пример Найти обратную матрицу для матрицы

Решение:

Приписываем справа к матрице A единичную матрицу третьего порядка, а затем приводим полученную матрицу к 3-упрощенному виду, используя только ЭП строк.

Обратная матрица