Погрешность косвенных измерений

Пусть искомая величина f определяется из прямых измерений величины a,т.е. f = f(a). Разлагая f(a) в ряд Тэйлора, получим в окрестности точку

(7)

Из (7) получим

(8)

Относительная погрешность величины f(a) равна

(9)

Важно подчеркнуть, что доверительная вероятность для f такова же, что и для величины a.

Если искомая величина f = f(a, b,c…) - т.е. функция многих переменных (находится из результата прямых измерений величин a, b,c…), то найдя заданной доверительной вероятностью a = 0,95 полуширину доверительного интервала каждой из величин a, b,c... (погрешности Da, Db, Dc...), найдем величину погрешности Df и e_f по формулам:

(10)

(11)

Например, . В данном случае проще сначала найти относительную погрешность согласно (11)

.

Вычислив e_V, найдем и . Погрешности Dh и DD найдем по (6).

При вычислении производных в (10), (11) все величины считаются постоянными, кроме той переменной, по которой находится производная.

Окончательный результат косвенных измерений величины запишем как и при прямых измерениях

В заключении приведем порядок обработки результатов измерений.

Прямые измерения

1.Результаты каждого измерения записываются в таблицу. Цена наименьшего деления прибора как правило записывается в таблицу. Поэтому, во-первых, результаты измерения необходимо записывать до наименьшей цены деления прибора, во-вторых, не следует “на глаз” находить доли деления.

2.Находится среднее арифметическое из результатов проведенных измерений.

3.Находятся погрешности результатов отдельных измерений и их квадраты .

4.Задается значение доверительной вероятности a = 0,95 и по заданной a и числу измерений n по таблице определяется коэффициент Стьюдента.

5.По формуле (6) находят полуширину доверительного интервала Da искомой величины (абсолютную погрешность результата), относительную погрешность e и записывают окончательный результат.

Косвенные измерения

1.Для каждой серии прямых измерений величин a,b,c..., входящих в расчетную формулу, искомой величины f, проводится обработка результатов так, как это описано выше. При этом для всех измеряемых величин задают одно и то же значение надежности a.

2.Находится выражение для абсолютной и относительной погрешности искомой величины согласно (10) и (11).

3.Вычисляются абсолютная и относительная погрешности результата косвенных измерений и записывается окончательный результат.

Примечание. Так как при n £ 10 значение определяется с погрешностью более 30%, то следует выполнять три правила:

- погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной - если первая есть 3 и более;

- результат измерения округляется до того же десятичного разряда, которым оканчиваются округленное значение абсолютной погрешности;

- округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним - двумя лишними знаками.

При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный результат округляется так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из приближенных данных. При других математических операциях в результате оставить столько значащих цифр, сколько их осталось после операций сложения и вычитания в наименее точном числе.