Правила выполнения простейших арифметических действий

Сложение в двоичной системе счисления осуществляется по правилам

0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 2₁₀ = 10₂ (единица идет в старший разряд).

Таблица вычитания в двоичной системе счисления имеет вид

0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 0 – 1 = 10 – 1 = 1 (единицу забираем у старшего разряда).

Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид

0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1.

Таблица деления в двоичной системе счисления имеет вид

0: 0 = не определено, 1: 0 = не определено, 0: 1 = 0, 1: 1 = 1.

Пример. Сложить двоичные числа 1101₂ и 11011₂.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

5 4 3 2 1
1 1 0 1
+ 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 0

Процесс образования результата по разрядам:

1. разряд 1 формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; 0 остается в разряде 1, 1 переносится во второй разряд;
2. разряд 2 формируется следующим образом: 0 + 1 + 1 = 10, где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в третий разряд;
3. третий разряд формируется следующим образом: 1 + 0 + 1 = 10, где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;
4. четвертый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 + 1 = 11, где третья 1 - единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в пятый разряд;
5. пятый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в шестой разряд.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:
1101₂ = 1*2³ +1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13;
11011₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;
101000₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 0*2¹ = 32 + 8 = 40.
Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.

Основные понятия алгебры логики. Логические основы ЭВМ.

При записи тех или иных логических выражений используется специальный язык, который принят в математической логике. Основоположником математической логики является великий немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716 гг.). Он сделал попытку построить универсальный язык, с помощью которого споры между людьми можно было бы разрешать посредством вычислений. На заложенном Лейбницем фундаменте ирландский математик Джордж Буль построил здание новой науки - математической логики, - которая в отличие от обычной алгебры оперирует не числами, а высказываниями. В честь Д.Буля логические переменные в языке программирования Паскаль впоследствии назвали булевскими.

Высказывание - это любое утверждение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно, т.е. соответствует оно действительности или нет. Таким образом по своей сути высказывания фактически являются двоичными объектами и поэтому часто истинному значению высказывания ставят в соответствие 1, а ложному - 0. Например, запись А = 1 означает, что высказывание А истинно.

Высказывания могут быть простыми и сложными. Простые соответствуют алгебраическим переменным, а сложные являются аналогом алгебраических функций. Функции могут получаться путем объединения переменных с помощью логических действий.

Самой простой логической операцией является операция НЕ (по-другому ее часто называют отрицанием, дополнением или инверсией и обозначают NOT X или . Результат отрицания всегда противоположен значению аргумента.

Логическая операция НЕ является унарной, т.е. имеет всего один операнд. В отличие от нее, операции И (AND) и ИЛИ (OR) являются бинарными, так как представляют собой результаты действий над двумя логическими величинами.

Операцию НЕ можно задать в виде таблицы

X

Логическое И еще часто называют конъюнкцией, или логическим умножением.

Операция И имеет результат «истина» только в том случае, если оба ее операнда истинны. Принято обозначать значком «&»либо «^»

Например, рассмотрим высказывание «Для остановки ОС «Windows'95» требуется процессор не ниже 80386 и не менее 4 Мбайт оперативной памяти». Из него следует, что установка будет успешной только при одновременном выполнении обоих условий: даже если у вас в машине Pentium, но мало ОЗУ (равно как и при 8 Мбайт ОЗУ процессор 80286), «Windows'95» работать откажется.

X	Y	X&Y

Операция ИЛИ -дизъюнкцией, или логическим сложением. Она дает «истину», если значение «истина» имеет хотя бы один из операндов. Принято обозначать значком «»либо «+». Разумеется, в случае, когда справедливы оба аргумента одновременно, результат по-прежнему истинный. Действительно, когда студентка просит друга подарить ей на день рождения букет цветов или пригласить в кафе, можно без опасении сделать и то, и другое одновременно (впрочем, на практике в таком случае можно ограничиться чем-то одним).

X	Y	X Y

Приведенные выше таблицы значений переменных для логических операций называются таблицами истинности. В них указываются все возможные комбинации логических переменных Х и Y, а также соответствующие им результаты операций. Таблица истинности может рассматриваться в качестве одного из способов задания логической функции.

Операции И, ИЛИ, НЕ образуют полную систему логических операций, из которой можно построить сколь угодно сложное логическое выражение.

В вычислительной технике также часто используется операция исключающее ИЛИ (XOR), которая отличается от обыкновенного ИЛИ только при Х=1 и Y=l.

Как видно из табл. 1.2, операция XOR фактически сравнивает на совпадение два двоичных разряда. Хотя теоретически основными базовыми логическими операциями всегда называют именно И, ИЛИ, НЕ, на практике по технологическим причинам в качестве основного логического элемента используется элемент И-НЕ (последняя колонка в табл. 1.2).

Таблица 1.2. Дополнительные логические операции

Х	Y	X XOR Y	NOT(X AND Y)

Можно проверить, что на базе элементов И-НЕ могут быть скомпонованы все базовые логические элементы (И, ИЛИ, НЕ), а значит и любые другие, более сложные.

Для упрощения логических выражений используют законы алгебры логики.

Таблица 1.3. Законы алгебры логики

В компьютерах все вычисления выполняются с помощью логических элементов –электронных схем, выполняющих логические операции. Обозначения простейших элементов приводиться в таблице (ГОСТ 2.743-91). Обратите внимания, что небольшой кружок на выходе обозначает операцию НЕ (инверсию).

Если нужно составить схему по известному логическому выражению, ее начинают строить с конца. Находят операцию, которая будет выполняться последней, и ставят на выходе соответствующий логический элемент. Затем повторяют то же самое для сигналов, поступающих на вход этого элемента. В конце концов, должны остаться только исходные сигналы –переменные в логическом выражении.

Составим схему, соответствующую выражению

Добавляем элемент И:

Ставим элемент НЕ:

Аналогично разбираем вторую ветку:

Схема составлена, ее входами являются сигналы А, В и С, а выходом Х.

Литература [1-4, 8]