Сходящихся сил аналитическим методом

Непосредственное применение условий равновесия в геомет­рической форме дает наиболее простое решение для системы трех сходящихся сил. При наличии в системе четырех и более сил рациональнее применять аналитический метод, который являет­ся универсальным и применяется чаще всего. При аналитичес­ком методе решение этих задач выполняется на основе уравне­ний равновесия по следующему плану:

первый этап - выделяют объект равновесия тело или точ­ку, где пересекаются линии действия всех сил, т. е. точку, равно­весие которой в данной задаче следует рассмотреть;

второй этап - к выделенному объекту равновесия приклады­вают заданные силы;

третий этап - выделенную точку или тело освобождают от свя­зей, их действие заменяют реакциями;

четвертый этап - выбирают координатные оси и составляют уравнения равновесия;

пятый этап - решают уравнения равновесия;

шестой этап - проверяют правильность решения.

В задачах стати­ки часто приходится определять реакции стержней. Необходимо установить, как действуют растягивающие и сжимающие силы в стержнях на точки крепления стержней или узлы. Когда стер­жень MN растянут

(рис. 5, а), его реакции на точки крепления направлены от этих точек М и N

Рис.5

внутрь стержня. Когда стержень сжат, его реакции направлены к точкам закрепления, т, е. наружу (рис, 5, б). Следовательно, можно сказать, что в растянутом стержне реакции направлены от узлов внутрь стержня, в сжатом к узлам наружу от стержня, по аналогии с деформированной пружиной.

Часто при решении задач трудно заранее определить направ­ление реакций стержней. В этих случаях удобно считать стерж­ни растянутыми и их реакции направлять от узлов.

Если реше­ние задачи даст значение реакции со знаком минус, то в действи­тельности имеет место не растяжение, а сжатие. Таким образом, реакции растянутых стержней будут положительными, а сжатых - отрицательными.

Пример 1. Груз подвешен на стержнях и находится в равнове­сии. Определить усилия в стержнях (рис. 6а).

Решение

1. Усилия, возникающие в стержнях крепления, по величине равны силам, с которыми стержни поддерживают груз (5-я аксиома статики) (рис.6а).

Определяем возможные направления реакций связей «жесткие стержни».

Рис.6

Усилия направлены вдоль стержней.

2. Освободим точку А от связей, заменив действие связей их реакциями

(рис. 66).

3. Система находится в равновесии. Построим треугольник сил. Построение начнем с известной силы, вычертив вектор F в не­котором масштабе.

Из концов вектора F проводим линии, параллельные реакциям

R l и R 2

Пересекаясь, линии создадут треугольник (рис. 6в). Зная мас­штаб построений и измерив длину сторон треугольника, можно опре­делить величину реакций в стержнях.

4. Для более точных расчетов можно воспользоваться геометри­ческими соотношениями, в частности теоремой синусов: отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла - величина постоянная

Для данного случая:

; определим реакцию R₁: ;

;

, определим реакцию R₂: ;

З а м е ч а н и е. Если направление вектора (реакции связи) на заданной схеме и в треугольнике сил не совпало, значит, реакция на схеме должна быть направлена в противоположную сторону.

Пример 2. Решение задач на равновесие плоской системы сходящихся сил

Дано: Груз подвешен на стержнях и канатах и находится в равновесии. Определить реакции стержней АВ и ВС. (рис. 7).

Рис.7

Решение

1. Определим вероятные направления реакций. Мысленно убираем стержень АВ, при этом стержень СВ опускается, следовательно точка В отодвигается от стены: назначение стержня АВ - тянуть точку В к стене.

Если убрать стержень СВ, точка В опустится, следовательно, стержень СВ поддерживает точку В снизу - реакция направлена вверх.

2. Освободим точку В от связей.

Пример 3. К кронштейну АВС в точке В подвешены два груза: груз g1 - 600 Н непосредственно и груз g ₂ = 400 Н через отводной блокD (рис. 9, а). Определить реакции стержней АВ и ВС кронштейна.

Решение.

В точке В пересекаются линии действия заданных сил G1 и G₂ и искомых реакций стержней АВ и СВ, поэтому выделяем узел В (рис. 8, б), который в данной задаче рассматривается как объект равновесия. Прикладываем к этому узлу заданные силы G1, направленную вертикально, и G₂, направленную вдоль троса. При этом учитываем, что неподвижный блок D изменяет направление силы, но не влияет на ее значение. Освобождаем узел В от связей, которые осуществляются стержнями АВ и ВС. Прикладываем вместо них реакции стержней ri и R_2, направляем их вдоль стержня от узла, т. е. полагаем, что оба стержня АВ и ВС растянуты. Выбираем координатные оси х и у (при выбранном направлении осей большинство проекций имеют знак плюс) и составляем уравнения равновесия:

1). Σ Fi_x = 0; R 1- G₂ cos 45° + R₂ cos 45° = 0;

Рис.8

2).Σ F_iy =0; G_l + R₂ cos 45° + G₂ cos 45° = 0.

Решив уравнения равновесия, находим:

R 1 = G₂cos45° - R ₂соз45° = 400 · 0,707 - (-1249) 0,707 = 1166 Н.

Знак минус перед численным значением реакции R 2 показывает, что стер­жень ВС не растянут, как предполагалось, а сжат.