Формула Пуассона

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Для определения вероятности появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако, эта формула непригодна, если вероятность события мала . В этих случаях, когда велико, а мало, прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим своей задачей найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно раз.

Сделаем важное допущение: произведение сохраняет постоянное значение, а именно . Как будет следовать из дальнейшего, это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях , остается неизменным.

Теорема 5.3 (формула Пуассона).

Пусть вероятность события при каждом из независимых испытаний равна , где . Тогда

. (5.4)

Данную теорему примем без доказательства.

Пример 5.3. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредиться, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудет более трех поврежденных изделий.

Решение. По условию n =5000, p =0,0002. Найдем l:

l= np =5000×0,0002=1.

Пусть A – событие, состоящее в том, что на базу прибудет более трех поврежденных изделий. Тогда - противоположное событию A заключается в том, что на базу прибудет менее или равное трем количество поврежденных изделий, т.е. . А значит, вероятность события A находится следующим образом

,