Задание 1. Линейные электрические цепи постоянного тока

Исходные данные:

Символическая запись схемы: .

Параметры схемы: R1=5Ом, R2=5Ом, R3=6Ом, R4=7Ом, R5=8Ом, R6=4Ом, E3=25В, E4=26В, J6=3А.

Требуется:

1. Начертить схему электрической цепи с обозначением узлов и элементов ветвей, соблюдая требования ЕСКД.

2. Определить и составить необходимое число уравнений по законам Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.

3. Определить токи ветвей методом контурных токов и узловых потенциалов и свести их в таблицу.

4. Проверить результаты расчета по уравнениям баланса мощностей.

5. Определить ток в первой ветви методом эквивалентного генератора.

Решение:

1. Анализируемая электрическая схема представлена на рисунке 1.1.

Рис.1.1.

2. Составим уравнения по законам Кирхгофа для нахождения токов в ветвях схемы. Предварительно выберем произвольно положительные направления токов в ветвях и обозначим их на схеме (см. рисунок 1.1.).

По первому закону Кирхгофа составим n_у-1 уравнений, где n_у – число узлов в схеме. Для исходной схемы n_у=4. Составляем 3 уравнения для узлов а, в и с. Вытекающие токи из узла будем считать положительными, втекающие - отрицательными. В результате получим:

(1.1)

По второму закону Кирхгофа составляется число уравнений, равное числу ветвей без источника тока (n_в-n_вист), за вычетом числа уравнений составленных по первому закону Кирхгофа, т.е. (n_в-n_вист)-(n_у-1). Для рассматриваемой схемы n_в=6, n_вист=1. Таким образом, по второму закону Кирхгофа требуется составить два уравнения. Выберем и обозначим на схеме (см. рис. 1.1) положительные направления обхода контуров (по часовой стрелке – на схеме обозначены – «НО»).

Имеем:

(1.2)

Таким образом, решая совместно уравнения (1.1) и (1.2) можно определить неизвестные токи в ветвях.

3. Определим токи в ветвях методом контурных токов. Выберем положительные направления контурных токов и обозначим их на схеме (см. рисунок 1.2.).

Рис. 1.2.

(1.3)

Заметим, что (по условию).

С учетом этого система (1.3) преобразуется в систему их двух уравнений:

(1.4)

Подставим в (1.4) числовые данные, получим:

(1.5)

Решим систему (1.5), используя метод подстановки. Для этого умножим первое уравнение (1.5) на 5 и сложим полученное выражение со вторым уравнением (1.5), откуда найдем:

(1.6)

Замечание. Система уравнений (1.5) может быть решена другими известными математическими методами, например, с помощью правила Крамера или с использованием обратной матрицы системы.

Подставим (1.6) в первое уравнение (1.5), в результате получим:

(1.7)

С учетом найденных контурных токов (1.6) и (1.7) определим искомые токи в ветвях:

Правильность расчета токов в ветвях проверим, используя условие баланса мощностей (сумма мощностей источников энергии в цепи должна равняться сумме мощностей потребителей). Данное условие записывается в виде:

.

Мощность потребителей (в нашем случае это сопротивления схемы, на которых выделяется энергия в виде тепла) будет иметь вид:

.

Суммируя рассчитанные мощности отдельных потребителей, получим:

Мощность источников энергии определим как:

Замечание. В данном соотношении в правой части первые два слагаемых это мощности источников эдс, а третье слагаемое – мощность источника тока. Источники энергии могут работать в двух режимах: в режиме собственно источника, тогда мощность отдается в схему и ее величина положительна и в режиме потребителя, тогда мощность поступает в источник из схемы и ее величина отрицательна.

Определим мощность источников эдс:

Определим мощность источника тока. Для этого найдем напряжение на источнике тока . Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, содержащего источник тока (см. рисунок 1.2).

Рассчитываем мощность источника тока:

Таким образом, имеем:

Расчет токов в ветвях считается выполненным верно, если разница между мощностями g не превышает 5%.

Таким образом, искомые токи в ветвях рассчитаны верно.

4. Определим токи в ветвях методом узловых потенциалов. Обозначим на схеме (рисунок 1.3) узлы цифрами 0, 1, 2, 3. Примем потенциал точки 0 равным нулю, т.е. .

Составим уравнения по методу узловых потенциалов:

(1.8)

В соотношении (1.8) - сумма проводимостей ветвей, сходящихся в k – узле, а - сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узлы k и m, взятая со знаком минус. В правые части (1.8) входят узловые токи.

(1.9)

Рис.1.3

Замечание. При расчете проводимостей необходимо учесть, что проводимость ветви с источником тока равна нулю (сопротивление источника тока равно бесконечности). При расчете узловых токов необходимо учесть, что эдс (токи от источников тока) подтекающие к узлу положительны, а утекающие отрицательны.

(1.10)

Рассчитаем проводимости (1.9) и узловые токи (1.10) и полученные данные подставим в (1.8):

(1.11)

Решаем полученную систему с помощью правила Крамера:

где - определитель матрицы составленной из коэффициентов правой части соотношения (1.11), - определители матриц из коэффициентов правой части соотношения (1.11), в которых соответственно первый, второй и третий столбец заменены коэффициентами правой части соотношения (1.11).

Для нахождения токов в ветвях воспользуемся законом Ома для участка цепи с эдс:

Как видно из полученных результатов, полученные токи совпали с токами, рассчитанными по методу контурных токов.

Сведем полученные результаты в таблицу 1.1.

Таблица 1.1.

Метод	Токи
I1, А	I2, А	I3, А	I4, А	I5, А	I6, А
МКТ	1,736	-3,984	-2,72	-0,984	0,984
МУП	1,736	-3,984	-2,72	-0,9833	0,9844

5. Определим ток в первой ветви методом эквивалентного генератора. Воспользуемся известным соотношением:

, (1.12)

где - напряжение эквивалентного генератора (напряжение между узлами 1 и 2 при разорванной ветви, в которой ищется ток), - сопротивление всей схемы, относительно узлов 1 и 2.

Замечание. При определении необходимо закоротить источники эдс, а ветви содержащие источники тока разорвать.

Электрическая схема для определения представлена на рисунке 1.4.

Рис.1.4

(1.13)

Для определения напряжения исходная электрическая схема преобразуется к виду, изображенному на рисунке 1.5.

Рис.1.5

Для нахождения искомого напряжения, воспользуемся методом контурных токов, для этого обозначим на схеме (см. рисунок 1.5) направления контурных токов.

Запишем уравнение для первого контура:

Из схемы (рисунок 1.5) следует, что

Воспользуемся законом Ома для участка цепи с эдс (в нашем случае это участок 1-2):

(1.14)

Подставим найденные значения (1.13) и (1.14) в соотношение (1.12) окончательно получим:

Полученный результат совпал с ранее полученными результатами.