Общее теоретическое введение

Как показывает теория, изображение предметов с помощью идеальной оптической системы может быть построено без детального исследования хода лучей внутри системы и требует только знания фокусного расстояния и положения особых, так называемых главных плоскостей.

Идеальная оптическая система обладает осью симметрии, которая называется главной оптической осью. Пусть ММ и NN — крайние поверхности, ограничивающие оптическую систему, а РР — главная оптическая ось (см. Рис. 1).

Рис. 1

Проведем луч AB, параллельный глазной оптической оси. Этот луч имеет продолжение в виде луча А, выходящего из системы. Ход луча внутри оптической системы нас интересовать не будет. Точка F´ пересечения луча A´B´ с главной оптической осью является изображением бесконечно удаленной точки (это легко показать с помощью второго луча, распространяющегося по главной оптической оси). Точку F´ называют задним или вторым главным фокусом системы (фокусом в пространстве изображений). Плоскость, перпендикулярная к РР, и проходящая через F´, называется задней фокальной плоскостью. Задний фокус оптической системы не всегда лежит справа от нее, как это изображено на Рис. 1. Так, в рассеивающих системах, этот фокус может лежать и слева от всех оптических поверхностей, входящих в состав системы.

Рассмотрим теперь луч C´D´, входящий в систему справа, и лежащий на продолжении луча АВ. Слева из системы выйдет луч C´D´, сопряженный лучу CD, подобно тому, как луч А´В´ сопряжен лучу АВ. Точку F его пересечения с главной оптической осью называют передним или первым главным фокусом системы (фокусом в пространстве предметов). Исходящие из него лучи в пространстве изображений параллельны оптической оси. Продолжим теперь D´C´ и АВ до пересечения с продолжениями C´D´ и AB, и отметим точки пересечения R и R´. Легко видеть, что эти точки сопряжены, т.е., являются изображением друг друга.

Действительно, точка R´ лежит на пересечении лучей А´В´ и C´D´, а точка R — на пересечении сопряженных им лучей АВ и CD (для большей наглядности направление одной пары сопряженных лучей, например, C´D´ и CD, можно изменить на противоположное, пользуясь обратимостью световых лучей). Из построения ясно, что точки R и R´ лежат на одинаковом расстоянии от главной оптической оси, т.е., β = 1 (поперечное увеличение равно +1). Можно показать, что в идеальной системе все точки плоскости, перпендикулярной к главной оптической оси и проходящей через R, попарно сопряжены точкам плоскости, также перпендикулярной к главной оптической оси, и проходящей через R´. При этом сопряженные точки находятся на одинаковых расстояниях от оси. (Например, точки Q и Q ´). Эти плоскости называются главными плоскостями, а точки, Н и Н´ — главными точками системы, первой и второй, соответственно. Расстояния от главных точек до фокусов называются фокусными расстояниям и, первым и вторым, HF = ‑f, H´F´ = ‑f´. В том случае, когда с обеих сторон системы находится одна и та же среда (например, воздух), f = f´ (по абсолютному значению). В данной работе мы ограничимся только этим случаем.

При отсчете отрезков и углов, образуемых световыми лучами с главной оптической осью PP', следует учитывать правило знаков.

Правило знаков состоит в следующем: в пространстве предметов началом отсчета отрезков является первая главная точка H, а в пространстве изображений — вторая главная точка H´.

Отрезки на оси, лежащие слева от первой главной точки, считаются отрицательными (например, отрезок HA =- a, на Рис. 2).

Рис. 2

Отрезки на оси, лежащие справа от второй главной точки, считаются положительными (например, отрезок H´A´ = a´)

Отрезки, перпендикулярные оптической оси, отсчитываются от этой оси, при этом, отрезки, направленные вверх, считаются положительными (например, отрезок h); отрезки, направленные вниз, считаются отрицательными (например, отрезок - h´).

Угол, образуемый световым лучом с оптической осью, считается положительным, если для его получения надо повернуть луч по часовой стрелке от оси (например, угол u на рис.2). Угол считается отрицательным, если для его получения луч надо повернуть против часовой стрелки от оси.

Оптическая система называется положительной (собирающей), если передний (первый) фокус F лежит левее главной точки H, а задний (второй) фокус F' – правее главной точки H'. Если же F располагается правее H, а F' – левее H', то система называется отрицательной (рассеивающей). Второе фокусное расстояние будет положительным для собирающих систем и отрицательным для рассеивающих. Если определять положение предмета и изображения по их расстояниям от соответствующих главных плоскостей, легко установить соотношение между этими расстояниями и фокусными расстояниями системы:

f/a+f'/a'=1 (1)

Следует подчеркнуть, что главные плоскости и главные точки могут лежать как внутри, так и вне системы и могут располагаться несимметрично относительно поверхностей, ограничивающих оптическую систему.

К числу простейших оптических систем относятся линзы – оптически прозрачные тела, ограниченные поверхностями постоянной или монотонно изменяющейся кривизны. Обычно линзы делают из стекла, и ограничены они сферическими поверхностями постоянной кривизны, одна из этих поверхностей может быть плоской. Линзы бывают толстые (объективы) и тонкие. Для тонких линз можно считать, что лучи идут через их оптический центр без преломления, а их главные плоскости сливаются в одну, проходящую через этот центр. Линзы также делятся на положительные (собирающие), см. рис.3,а, и отрицательные (рассеивающие), см. рис. 3,б.

Рис. 3,а

Рис. 3,б

Главное фокусное расстояние f' тонкой линзы может быть вычислено, если известны радиусы кривизны поверхностей линзы r₁ и r₂ и её показатель преломления n:

1/f'= (n-1)(1/r₁-1/r₂) (2)

За оптическую силу линзы принимается величина, обратная её главному фокусному расстоянию:

D=1/f' (3)

За единицу измерения оптической силы принята оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 метр, она называется диоптрией.

Если среда, окружающая линзу, одинакова с обоих сторон, то абсолютные значения обоих фокусных расстояний равны по абсолютной величине, но различны по знаку. Для собирающих линз f' положительно, а f отрицательно: f'=-f. Для рассеивающих линз, наоборот, f' отрицательно, а f положительно.Тогда формула (1) запишется в виде:

1/f'=1/a'-1/a (4)

Ход лучей в положительной линзе показан на рис.4.

Рис.4.

Ход лучей в отрицательной линзе и её фокусы показаны на рис.5. Видно, что оба главных фокуса мнимые, т.е. в них сходится только мнимое продолжение световых лучей.

Рис.5.

ПОРЯДОК РАБОТЫ

Приборы и материалы: оптическая скамья с установленными в рейтерах следующими оптическими элементами: осветитель, объект, положительная и отрицательная линзы, экран.

ЗАДАНИЕ 1. Определение главного фокусного расстояния тонкой положительной линзы.

1. На оптической скамье установите оптические элементы в следующем порядке (слева направо): осветитель, объект, положительная линза, экран (аналогично рис.4). Нарисуйте соответствующую оптическую схему.

2. Добейтесь чёткого изображения объекта на экране.

3. Измерьте расстояние a от объекта до линзы, расстояние a' от линзы до экрана. Результаты измерений занесите в таблицу 1.

Таблица 1.

a, см

a', см

f', см

4. Измерьте размер объекта l и размер изображения l '. Результаты занесите в таблицу 2.

Таблица 2.

a', см

l, см

l ', см

f', см

5. Повторите пп.2-4 для четырёх разных значений а.

6. По формуле (4) рассчитайте фокусное расстояние линзы с учётом правила знаков (отрезок а отрицательный). Результаты запишите в таблицу 1.

7. Рассчитайте фокусное расстояние линзы по данным табл. 2. Используя рис.4, нетрудно показать, что

f'= a' l /(l - l ') (5)

При этом учитывайте знаки отрезков (отрезок l ' – отрицательный). Результаты вычислений запишите в табл.2.

8. Рассчитайте среднее значение < f' > и абсолютную погрешность этой величины отдельно по данным табл.1 и табл.2. Сравните эти результаты.

ЗАДАНИЕ 2. Определение главного фокусного расстояния отрицательной линзы.

1. Отрицательная линза имеет мнимые фокусы (см. рис.5). Но определить мнимый фокус можно, используя вместо объекта его действительное изображение, построенное положительной линзой (см. рис.6).

Рис.6.

На оптической скамье установите оптические элементы в следующем порядке (слева направо): осветитель, объект, положительная линза, отрицательная линза, экран (аналогично рис.6). Нарисуйте соответствующую оптическую схему. При этом и объект, и изображение находятся справа от отрицательной линзы. Следует учесть, что оптическая сила у положительной линзы должна быть больше, чем у отрицательной, чтобы пучок лучей после отрицательной линзы оставался сходящимся.

2. Снимите с оптической скамьи отрицательную линзу и получите на экране изображение объекта, построенное положительной линзой. Измерьте расстояние b от экрана до положительной линзы и запишите в табл.3.

Таблица 3.

b, см

r, см

a', см

a, см

f', см

3. Вставьте отрицательную линзу между экраном и положительной линзой. Передвигая экран и отрицательную линзу, получите второе изображение объекта (см. рис.6). Измерьте расстояние r от отрицательной до положительной линзы и расстояние а' от отрицательной линзы до экрана и запишите в табл.3.

4. Изменяя положение отрицательной линзы, повторите опыт несколько раз.

5. Вычислите расстояние а по формуле:

a = b – r (6)

Фокусное расстояние отрицательной линзы рассчитайте по формуле (4), учитывая знаки отрезков. Результаты вычислений занесите в табл.3.

6. Рассчитайте среднее значение < f' > и абсолютную погрешность этой величины.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как связаны главное фокусное расстояние тонкой линзы и радиусы кривизны её поверхностей?

2. Нарисуйте ход лучей в положительной линзе.

3. В каком случае лучи из линзы выходят параллельно оптической оси?