Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется ряд:

, (15.1)

членами которого являются степенные функции с возрастающими целыми показателями, числа коэффициенты данного ряда. Виражение – общий член степенного ряда.

Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида:

(15.2)

Этот ряд легко привести к предыдущему, если считать .

Областью сходимости степенного ряда называется множество значений , при которых степенной ряд сходится.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится для некоторого значения , не равного нулю, то он сходится абсолютно для всех значений , для которых выполняется условие:

. (15.3)

Если степенной ряд расходится для некоторого значения , то он расходитсяся для всех значений , для которых выполняется условие:

. (15.4)

Из теоремы Абеля вытекает, что для произвольного степенного ряда существует положительное число (конечное или бесконечное), такое, что для всех ряд сходится, причем абсолютно, а при ряд расходится.

Интервал , во всех точках которого степенной ряд сходится, а в точках, которые не принадлежат данному интервалу, степенной ряд расходится называется интервалом сходимости данного ряда.

Половина интервала сходимости называется радиусом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости составляет всю числовую ось . Если , то степенной ряд сходится лишь при , то есть интервал сходимости вырождается в точку.

Для решения вопроса о сходимости степенного ряда применяют признак Даламбера к ряду, который составлен из абсолютных величин его членов, то есть вычисляют предел:

и сравниваю ее с единицей.

Множество значений для которых , образует область абсолютной сходимости степенного ряда (15.1). Множество значений , для которых , образует область расходимости.

Следовательно,

, а ,

где – радиус сходимости степенного ряда.

То есть, . (15.5)

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение.

Обозначим , тогда . Дальше получаем:

.

.

Последнее неравенство выполняется для любого , то есть ряд сходится на всей числовой оси: .

Можно сразу найти , поскольку степенной ряд содержит все степени :

.

Таким образом, ряд сходится на всей числовой оси.

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда .Решение.

В этом степенном ряду коэффициенты при четных степенях равны нулю, то есть . Непосредственное применение признака Даламбера дает:

,

откуда получаем, что , следовательно .

Исследуем поведение степенного ряда на концах интервала сходимости.

Пусть . Подставим это значение в степенной ряд и получим числовой ряд:

,

поведение которого определяется поведением гармоничного ряда. Следовательно этот ряд расходящийсяпо признаку сравнения в предельной форме.

Пусть . При этом значении степенной ряд превращается в числовой ряд: . Этот ряд, как уже было показано, являетсярасходящимся.

Таким образом, область сходимости ряда является интервалом .

Пример 3. Найти область сходимости ряда .

Решение.

Обозначим . Следовательно – степенной ряд.

Тогда .

Для нахождения радиуса сходимости теперь можно применить формулу:

.

Исследуем поведение ряда на концах полученного интервала.

При получим числовой ряд: . Этот ряд сходится согласно признаку Лейбница.

При числовой ряд имеет вид: . Он сходится, как ряд Дирихле при .

Следовательно, областью сходимости ряда будет промежуток . Возвращаясь к переменной , получим , или .

Таким образом, областью сходимости данного ряда является промежуток .