Тема 4. Краевые задачи для уравнения Лапласа

Третья краевая задача. Рассмотрим внутреннюю краевую задачу для уравнения Лапласа с граничным условием третьего рода

(4.29)

где .

Пусть область представляет собой круг радиуса , ограниченный окружностью . Тогда задача (4.29) в полярных координатах будет иметь вид

(4.30)

(4.31)

Решение этой задачи будем искать методом разделения переменных в виде

. (4.32)

Подставляя предполагаемую форму решения (4.32) уравнение (4.30) и разделяя переменные, получаем

Отсюда следует, что функция должна быть найдена из решения уравнения

, (4.34)

а для функции получаем задачу на собственные значения

(4.35)

Здесь условие периодичности функции является следствием периодичности искомого решения по угловой переменной с периодом .

Задача (4.35) имеет нетривиальные периодические решения только при , Эти решения имеют вид

(4.36)

где и - произвольные постоянные.

Из (4.34) для функции при получаем уравнение

(4.37)

Будем искать частные решения этого уравнения в виде степенной функции , . Подставив эту функцию в уравнение (4.37):

устанавливаем, что показатель степени определяется из уравнения т. е. .

Следовательно, уравнение (4.41) имеет следующие два линейно независимых решения: и .

Решение внутренней задачи Дирихле должно быть ограниченно в центре круга при . Поэтому из двух найденных решений следует взять лишь ,

Таким образом, согласно (4.37) частные решения уравнения (4.35) можно записать так:

В силу линейности и однородности уравнения (4.35) суперпозиция частных решений

(4.38)

также будет удовлетворять этому уравнению.

Выполняя граничные условия (4.31), получаем

или

(4.38)

Расположим функцию в интервале в тригонометрический ряд Фурье:

(4.39)

Приравняв коэффициенты в рядах Фурье (4.38) и (4.39), находим

(4.40)

Таким образом, решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в круге представимо в виде ряда (4.38) с коэффициентами, определяемыми формулами (4.39).

Задачи Дирихле и Неймана в круге. Из найденного решения третьей краевой задачи могут быть получены решения задач Дирихле и Неймана.

Если положить , а , то краевая задача (4.30) переходит в задачу Дирихле, а её решение представимо рядом (4.38) с коэффициентами

; ; .

Это решение можно записать в форме

. (4.41)

Если же в задаче (4.29) положить , то получим задачу Неймана для круга. В этом случае

;

а формула (4.40) для коэффициента устанавливает условие (???) разрешимости задачи Неймана

.

Поэтому решение задачи Неймана имеет вид

. (4.42)

Замечание. Если в формулах (4.41) и (4.42) значение считать равным , то они будут определять решение внешних для круга задач Дирихле и Неймана.

Интеграл Пуассона. Получим иную форму записи решения задачи Дирихле для круга. Для этого преобразуем решение (4.46), подставляя в него значения коэффициентов и ,

(4.43)

Замечая, что

,

находим

.

Так как , то, вычислив суммы геометрических прогрессий, получим

Подставляя найденное значение в уравнение (4.43), получаем решение задачи Дирихле для круга в форме

(4.44)

Интеграл в правой части формулы (4.44) называют интегралом Пуассона для круга.

Внешняя краевая задача.

Для решения внешней краевой задачи (4.29) необходимо положить коэффициент и выбрать решение в виде , т. к. решение внешней задачи должно быть ограниченно на .

Тогда частные решения задачи примут вид:

, (4.45)

а общее решение запишется в виде:

. (4.46)

Аналогично задачи Дирихле внутри круга, для внешней задачи, используя граничные условия, получаем коэффициенты:

; ; (4.47)

а решение внешней задачи Дирихле примет вид:

(4.48)

Решение внешней краевой задачи можно представить как интеграл Пуассона:

(4.49)

Задача Дирихле в кольце. Приведем теперь решение задачи Дирихле в кольце, внутренняя граница которого есть окружность радиуса , а внешняя – окружность радиуса . Эту задачу можно записать следующим образом:

; (4.50)

. (4.51)

Представляя решение уравнения (4.50) в форме (4.32), придем к задаче на собственные значения (4.34) для функции и к решению в интервале уравнения (4.36).

Общее решение уравнения (4.36) имеет вид

(4.52)

Здесь в отличие от задачи для круга нужно сохранить оба слагаемых, так как точка находится вне кольца.

Поэтому с учетом формул (4.35) и (4.52) частные решения уравнения (4.50) можно записать в виде

Здесь ; ; ; - произвольные постоянные.

Функция , определяется как суперпозиция этих частных решений:

, (4.53)

будет удовлетворять линейному однородному уравнению (4.50).

Подставив (4.53) в граничные условия (4.51), получим

(4.54)

Эти соотношения представляют собой разложение заданных функций и в тригонометрические ряды Фурье. Вычислим коэффициенты Фурье этих функций:

Тогда из уравнений (4.54) находим

Так как и , то эти системы однозначно разрешимы:

; ;

; ;

; .

Подставляя значения этих коэффициентов в уравнение (4.53), получаем решение задачи Дирихле в кольце.

4. Рассмотрим физическую природу и свойства объемного, логарифмического и поверхностного потенциалов. Для этого воспользуемся электростатической аналогией.

Пусть в некоторой точке помещен заряд . Потенциал поля, создаваемого этим зарядом в точке равен:

Далее предположим, что заряд распределен в области непрерывным образом с плотностью . Определим потенциал поля, создаваемого этим зарядом в точке . Для этого разобьем объем на элементарные области . Также предложим, что заряд, рассредоточенный в элементарном объеме , можно считать точечным. Тогда имеем:

Выполняя интегрирование в последнем выражении, имеем:

(4.55)
которое совпадает с первым слагаемым в (4.15).

Интеграл (5.???????) однозначно определен, если точка не принадлежит области . В противном случае этот интеграл является несобственным, так как подынтегральная функция при обращается в бесконечность, т.е. имеет особенность.

Укажем простейшие свойства объемного потенциала:

1) Если функция непрерывна и ограничена в объеме , то объемный потенциал непрерывен во всем пространстве;

2) Если функция непрерывна и ограничена в объеме , то объемный потенциал имеет непрерывные частные производные первого порядка во всем пространстве.

3) Если функция непрерывна и ограничена в области , то вне области объемный потенциал (5.????????) удовлетворяет уравнению Лапласа:

а внутри области - уравнению Пуассона

Индекс у оператора Лапласа обозначает в нашем случае дифференцирование по переменным .

Пусть далее заряд в пространстве распределен «плоскопараллельным» образом, т. е. закон его распределения зависит только от и . Потенциал создаваемого этим полем заряда, очевидно, не зависит от координаты и задачу можно считать плоской.

Пусть помещенный на плоскости заряд является точечным. В пространстве задача определения поля, создаваемого этим зарядом, эквивалентна поиску потенциала бесконечно длинной равномерно заряженной с линейной плотностью нити. Потенциал исследуемого поля равен:

Рассмотрим более общий случай, когда заряд непрерывно распределен в некоторой области с плотностью . Как и при введении объемного потенциала, разобьем поверхность на элементарные площадки . Будем предполагать, что внутри каждой их площадок заряд можно считать точечным. Тогда потенциал, создаваемый зарядами, находящимися внутри элементарной площадки, равен:

Выполняя интегрирование в последнем выражении, получаем:

(4.56)
Нетрудно заметить, что выражение логарифмического потенциала (4.56) в точности совпадает с (4.18).

Как и объемный потенциал, логарифмический потенциал определен однозначно, если точка лежит вне поверхности . Однако, имеется одно существенное отличие. Если точка удалена от на бесконечно большом расстоянии, то логарифмический потенциал имеет особенность, связанную с неопределенностью в вычислении логарифма.

Если точка лежит внутри , то интеграл (4.56) является несобственным, а подынтегральная функция имеет особенность при .

Можно показать, что для логарифмического потенциала также справедливы свойства, указанные для объемного потенциала. В частности, если функция непрерывна и ограничена в области , то логарифмический потенциал (4.56) удовлетворяет внутри уравнению Пуассона:

в вне - уравнению Лапласа:

Здесь

Если электрический заряд с объемной плотностью расположен в небольшом слое толщиной около поверхности , а поле исследуется на расстоянии много большем учет толщины поверхности не имеет смысла. По этой причине вместо объемного потенциала целесообразно рассматривать поверхностный потенциал.

Рассмотрим поле, создаваемое зарядами, распределенными по поверхности. Потенциал этого поля выражается через поверхностную плотность заряда и равен:

(4.57)
Потенциал (5.48) носит название потенциала простого слоя.

Другим типом поверхностного потенциала является потенциал двойного слоя. Рассмотрим диполь, образованный двумя зарядами и , расположенными в точках и в окрестности поверхности . Введем дипольный момент

этой системы зарядов. Здесь - расстояние между точками и .

Потенциал диполя в некоторой точке может быть найден на основе принципа суперпозиции:

(4.58)
Здесь Пусть точка удовлетворяет условиям: Выбирая на отрезке некоторую среднюю точку, перепишем (4.58) в виде

(4.59)
Вычисляя в (4.59) производную по направлению , получаем:

Теперь рассмотрим две поверхности и , находящиеся друг от друга на малом расстоянии . Пусть на этих поверхностях распределены заряды и с поверхностной плотностью В этом случае дипольный момент также оказывается распределенным с некоторой поверхностной плотностью .

В частности, дипольный момент элемента поверхности оказывается равным

.

Тогда, в соответствии с (4.59), потенциал зарядов элемента поверхности в точке оказывается равным

(4.60)
Здесь - нормаль к элементу , проведенная в точке . Направление нормали эквивалентно направлению для системы двух зарядов.

Используя принцип суперпозиции, проинтегрируем (4.60). В результате получим:

(4.61)
Знак “ – ” соответствует случаю, когда внутренняя сторона поверхности заряжена отрицательно, а внешняя – положительно.

Величина (4.61) совпадает с (5.????????) и называется потенциалом двойного слоя.

Потенциал двойного слоя в некоторой точке терпит разрыв и удовлетворяет соотношениям:

(4.62)
Здесь - предельное значение потенциала двойного слоя при подходе к точке с внутренней стороны, а - предельное значение с наружной стороны.

В отличие от потенциала двойного слоя потенциал простого слоя разрыв на поверхности не испытывает, однако терпит разрыв производная на нормали:

(4.63)
Здесь - поверхностная плотность заряда, а - интеграл вида:

где - плотность дипольного момента в некоторой фиксированной точке , принадлежащей поверхности .