Наближені методи розв‘язання нелінійних рівнянь

Мета роботи – ознайомлення з методами наближеного розв’язання нелінійних алгебричних й трансцендентних рівнянь та оцінка ефективності окремих методів.

2.1 Основні відомості

Розв‘язання рівняння – це визначення множини його коренів, тобто таких значень аргументу х, при яких рівняння перетвориться в тотожність. Якщо функція – алгебричний багаточлен, то рівняння називають алгебричним. Якщо містить тригонометричні, показникові або логарифмічні функції, тоді рівняння називають трансцендентним.

Універсальних методів для знаходження точних значень коренів для більшості таких рівнянь не існує. Тому важливого значення набувають наближені методи знаходження коренів рівняння з достатньою для практики точністю.

Задача знаходження коренів рівняння вважається розв‘язаною, якщо корені обчислені із наперед заданою точністю.

Наближене знаходження коренів рівняння складається з двох етапів:

1) відокремлення коренів, тобто виділення проміжків скінченої довжини (відрізків ізоляції коренів) де міститься один єдиний корінь рівняння;

2) обчислення коренів з наперед заданою точністю (уточнення коренів).

Корені рівняння можуть бути дійсними і комплексними. В даній роботі будуть розглядатися наближені методи обчислення тільки дійсних коренів.

Найбільш поширеними методами відокремлення коренів є аналітичний і графічний.

До найбільш поширених методів уточнення коренів алгебричних і трансцендентних рівнянь можна віднести наступні методи: половинного ділення (інші назви: бісекції, дихотомії), хорд (помилкового положення), дотичних (Ньютона), комбінований метод хорд і дотичних, ітерацій (послідовних наближень).

2.2 Порядок виконання роботи

1. Відокремити графічно один з коренів (наприклад, перший додатний) трансцендентного рівняння і уточнити його вказаним методом з точністю до (табл. 2.1).

2. Розв‘язати алгебричне рівняння (табл. 2.1). При цьому виконати наступні дії:

– відокремити всі корені рівняння (з використанням ПЕОМ);

– найбільший з абсолютної величини корінь уточнити з точністю декількома методами (ПЕОМ); оцінити ефективність використаних методів;

– скласти програму уточнення коренів указаним методом і з її допомогою уточнити інші корені рівняння з точністю .

3. З використанням схеми Горнера скласти таблицю значень многочлена (табл. 2.2) на відрізку [0,5; 1,0]; крок . Обчислення з наведенням всіх проміжних результатів виконати з точністю до 0,0001, відповідь заокруглити до тисячних.

2.3 Зміст звіту

1. Мета роботи.

2. Вихідні дані для виконання роботи.

3. Розв’язання трансцендентного рівняння вказаним методом.

4. Розв’язання алгебричного рівняння (відокремлення коренів, зведена таблиця з результатами уточнення одного з коренів різними методами на ПЕОМ, текст програми та результати уточнення інших коренів вказаним методом).

5. Розрахунки значень многочлена за допомогою схеми Горнера.

Контрольні питання

1. Які основні етапи методики розв‘язування нелінійних рівнянь?

2. Які існують методи відокремлення коренів нелінійних рівнянь?

3. Як можна визначити область існування (R_H, R_B) коренів алгебричних рівнянь? Поясніть суть відомих методів.

4. В чому полягає засіб визначення меж існування від‘ємних і додатних дійсних коренів алгебричних рівнянь?

5. Який алгоритм обчислення значення многочлена є найбільш економним (з точки зору кількості операцій)?

6. Поясніть суть найбільш поширених методів уточнення коренів нелінійних рівнянь (половинного ділення, хорд, дотичних, простих ітерацій).

7. Складіть можливі алгоритми найбільш поширених методів уточнення коренів нелінійних рівнянь.

Таблиця 2.1 – Варіанти до завдань 1 та 2

Варіант	Трансцендентне рівняння	Метод уточнення	Алгебричне рівняння	Метод уточнення
	Sin(x/5)+exp(x/10)=3,628	Дотичних Хорд Бісекції Дотичних Дихотомії Хорд Дотичних Хорд Бісекції Дотичних Бісекції Хорд Дотичних Хорд Бісекції		Бісекції Дихотомії Дотичних Хорд Дотичних Бісекції Дихотомії Дотичних Хорд Бісекції Хорд Дотичних Дихотомії Дотичних Хорд

Продовження таблиці 2.1

Варіант	Трансцендентне рівняння	Метод уточнення	Алгебричне рівняння	Метод уточнення
		Дотичних Бісекції Хорд Дотичних Хорд Бісекції Дотичних Дихотомії Хорд Дотичних Хорд Бісекції Дотичних Дихотомії Хорд		Бісекції Дотичних Дихотомії Хорд Бісекції Дотичних Хорд Дотичних Дихотомії Хорд Бісекції Дотичних Дихотомії Хорд Дотичних

Таблиця 2.2 – Варіанти до завдання 3

Варіант	Багаточлен
	. . . . . . . . . . .

Продовження таблиці 2.2

Варіант	Багаточлен
	. . . . . . . . . . . . . . .

Лабораторна робота № 3