Функции аппроксимации

Для представления физических закономерностей, а также при проведении научно-технических расчетов используются зависимости вида , но число точек этих зависимостей ограничено. При этом возникает задача приближенного вычисления значений функций в промежутках между узловыми точками и за их пределами. Такая задача решается аппроксимацией исходной зависимости, то есть ее подменой какой-либо достаточно простой функцией. В системе Mathcad предоставляется возможность аппроксимации двумя типами функций: кусочно-линейной и сплайновой.

При кусочно-линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости. То есть, при линейной аппроксимации узловые точки соединяются отрезками прямых линий, для чего используется функция – линейная интерполяция,где , – векторы координат узловых точек, а x – заданный аргумент. При небольшом числе узловых точек линейная интерполяция оказывается довольно грубой. Даже первая производная функция аппроксимации получается с резкими скачками в узловых точках. Поэтому применяют функцию сплайн-аппраксимации.

При сплайн-аппроксимации исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты этой функции рассчитываются таким образом, чтобы первая и вторая производные были непрерывными. Линия, описывающая сплайн-функцию, напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках.

Для осуществления сплайновой аппроксимации в Mathcad существуют четыре специальные встроенные функции:

· – возвращает вектор вторых производных при приближении в опорных точках к параболической кривой

· – возвращает вектор вторых производных при приближении в опорных точках к прямой;

· – возвращает значение для заданных и заданного значения

Таким образом, сплайн- аппроксимация производится в два этапа:

1. Для выбранного способа приближения к узловым точкам вычисляется вектор вторых производных функции , заданной векторами ее значений с помощью одной из функций cspline, pspline или lspline.

2. С помощью функции вычисляется значения для каждой искомой точки.