Вычисление эмпирических параметров

Числовые характеристики выборки вычисляются по следующим формулам:

- эмпирическое (выборочное) среднее

; (4)

- выборочная дисперсия

, или ; (5)

- стандартное отклонение

, или ; (6)

- размах выборки

; (7)

- эмпирический центральный момент -го порядка

, или ; (8)

- эмпирические коэффициенты асимметрии и эксцесса

, . (9)

Несмещенные оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса вычисляются по формулам:

, , (10)

где

, .

Вторая формула (5) дает несмещенную оценку дисперсии , но, несмотря на это, после извлечения квадратного корня (формула (6)) получается смещенная оценка для среднеквадратичного отклонения. Несмещенная оценка получается после введения поправочного коэффициента , зависящего от объема выборки:

, , (11)

где - гамма-функция Эйлера. Использовать эту формулу имеет смысл лишь при относительно малом объеме выборки, поскольку множитель при больших значениях приблизительно равен единице и очень слабо изменяется с ростом : ; ; ; .

Отметим, что оценки математического ожидания и дисперсии и являются несмещенными оценками при произвольных распределениях, оценка стандартного отклонения (11) может быть смещенной при распределениях, отличных от нормального распределения.

Порядок выполнения задания

1. Присвойте переменной ORIGIN значение равное единице.
2. Из файла с именем «Lab1 Nx», где N – номер варианта задания, считайте исходные данные и разместите их в массиве Х.
3. С помощью встроенной функции length (X) определите объем выборки – .
4. Определите максимальное и минимальное значения и размах выборки.
5. Выполните операцию ранжирования выборки.
6. Задайте (или вычислите) число интервалов группирования данных.
7. Вычислите характеристики интервалов группировки: , , , .
8. Определите с помощью встроенной функции hist(x,X) массив значений (вектор) относительных частот.
9. Постройте гистограмму и полигон относительных частот, используя различные стили графического оформления результатов.
10. Сравните гистограмму (полигон) с теоретической плотностью вероятностей.
11. Определите вектор относительных накопленных частот.
12. Постройте графики эмпирической функции распределения по исходной и группированной выборке, сравните результаты.
13. Постройте графики эмпирической функции распределения и полигона относительных накопленных частот.
14. Сравните эмпирическое и теоретическое распределения (изобразив на одном графике эмпирические полигоны частот и указанное в задании распределение).
15. Проделайте все вычисления для нескольких различных значений ; сравните результаты, определите оптимальное значение .
16. Вычислите все указанные в задании числовые характеристики выборки с использованием формул (4) – (11) и встроенных функций системы Mathcad. Сравните результаты вычислений.
17. Используя квантиль распределения Колмогорова, постройте доверительную область для эмпирической функции распределения. Обратите внимание на то, как изменяется «ширина» доверительной области с изменением .
18. Сформулируйте выводы по проделанной работе.
19. Сохраните рабочий документ.