Тепер цю роботу виконаємо за допомогою засобів

МЕТОДИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

Тема роботи: Вибірковий метод. Порівняння двох середніх арифметичних за допомогою критерію Ст’юдента

Мета роботи: Навчитися визначати критерій вірогідності, порівнювати його з табличним значенням (t гр.), робити висновок і визначати причини вірогідних і не вірогідних різниць між двома вибірковими середніми арифметичними.

Теоретичні відомості

Традиційні завдання фізичної культури і спорту склалися таким чином, що в їх основі лежать ідеї вибіркового методу. Основний зміст методу зводиться до того, що дослідженню підлягає генеральна сукупність не в повному складі, а своєю репрезентативною частиною - вибірковою сукупністю. Передбачається, що вибірка з належною вірогідністю відображає генеральну сукупність тільки у тому випадку, якщо її елементи обрані з генеральної нетенденційно.

Що стосується обсягу вибірки, то відповідно до основних положень математичної статистики, вибірка тим більш репрезентативна, чим вона повніше. У кожному конкретному випадку кількість об'єктів, що відбираються у вибірку, призначається індивідуально.

Основним завданням вибіркового методу є пошук двох показників - середнього арифметичного значення () генеральної сукупності і середнього квадратичного відхилення (σ) генеральної сукупності.

У практиці спорту прийнято обирати надійність P = 0,95 і відповідний до неї рівень значущості L = 0,05, які відображають основну групу досліджуваних завдань. У виняткових випадках при необхідності різко збільшити надійність розрахунків приймається P = 0,99 і L = 0,01.

Велику групу завдань вибіркового методу класифікують як групу порівняльних завдань. Порівнюються дві, або більше вибіркові сукупності. При порівнянні встановлюється, належать ці вибірки до однієї і тієї ж генеральної сукупності, чи до різних. Це має значення при визначенні вірогідності різниць між двома вибірковими середніми арифметичними.

Отже, при роботі вибірковим методом у практиці фізичної культури і спорту можна знайти основні середньостатистичні показники великої групи випробуваних за допомогою вивчення малого числа їхніх представників. А також можна виявити, чи принципова різниця між кількома однотипними групами об'єктів.

За допомогою вибіркового методу математичної статистики можна оцінити:

1. Ефективність навчально-тренувального або навчально-виховного процесу.

2. Рівень підготовленості спортсмена або групи спортсменів.

3. Перевагу або ідентичність методики навчання рухових умінь і навичок, розвитку фізичних якостей.

4. Необхідність введення нового педагогічного чинника в навчально-виховний або навчально-тренувальний процес.

Вибірковий метод дозволяє порівнювати:

1. Показники спортсмена або групи спортсменів однієї спеціалізації і кваліфікації до і після серії тренувальних занять для виявлення зрушень у цих показниках.

2. Показники фізичного розвитку, фізичної підготовленості, фізичної працездатності основних систем організму у спортсменів і осіб, що не займаються спортом.

3. Показники спортсменів, які тренуються в різних умовах або за різними методиками.

Для визначення вірогідності різниці між вибірковими середніми арифметичними необхідно обробити числа обох груп, які порівнюються, способом варіаційних рядів, тобто визначити в обох групах - середнє арифметичне значення, σ - середнє квадратичне відхилення і m - помилку середнього арифметичного значення.

Критерієм визначення вірогідності різниць є величина, обумовлена за формулою в залежності від того, які вибірки порівнюються в процесі дослідження - пов'язані або непов'язані.

Критерій вірогідності різниць (критерій Ст'юдента - t) порівнюється із граничним (табличним) значенням tгр, індекс визначається за спеціальною таблицею Ст’юдента для конкретної надійності і обсягу вибірки. Для визначення tгр за таблицею необхідно знати К (число ступенів свободи), що розраховується за формулою:

¯ у випадку, якщо дорівнюються обсяги вибірок а не дорівнюються середні квадратичні відхилення N1 = N2, σ 1 ¹ σ 2, то

К = 2×N-2

¯ у випадку, якщо не дорівнюються обсяги вибірок або дорівнюються середні квадратичні відхилення N1 ¹ N2, σ 1 = σ 2, то

К = N1 + N2 - 2

При порівнянні двох вибіркових середніх арифметичних, звичайно, перевіряється припущення, що і перша, і друга вибірки належать до однієї генеральної сукупності, і, отже, значною мірою не відрізняються одна від одної (порівнюються за одним показником два спортсмени, дві групи). У такому випадку бувають відомі такі статистичні характеристики: , , σ _х, σ _у і обсяги вибірок N1 і N2.

Для відповіді на питання щодо вірогідності і не вірогідності різниць вибірок, які підлягають дослідженню, необхідно порівняти t розрахункове, і постійне граничне (tгр).

Вибір формули для визначення критерію вірогідності (t) для непов'язаних вибірок залежить від однакових і неоднакових обсягів вибірок (N) і середніх квадратичних відхилень (σ):

1. У випадку однакових обсягів вибірок і неоднакових дисперсій:

Nх = Nу; σ²х ¹ σ²у

, де

- середнє арифметичне значення першої і другої вибірки;

σ²х, σ²у - дисперсія першої і другої вибірки;

N - обсяг вибірки

Число ступенів свободи для визначення tгр, розраховується за формулою:

К = 2 ´ N - 2

2. У випадку нерівних обсягів вибірок і нерівних дисперсій:

Nх ¹ Nу; σ²х ¹ σ²у

Число ступенів свободи розраховується за формулою:

К = Nx + Ny - 2

3. У випадку нерівних обсягів вибірки і рівних дисперсій:

Nх ¹ Nу; σ²х = σ²у

Число ступенів свободи К= Nx + Ny – 2

4. Без урахування рівняння чи не рівняння обсягів вибірок та їх дисперсій, критерій вірогідності Ст’юдента для непов’язаних вибірок розраховується за формулою:

, де

mх mу – це похибка репрезентативності (або похибка середнього арифметичного значення) вибірок, які підлягають дослідженню.

Число ступенів свободи для визначення tгр, розраховується за формулою:

К = 2 ´ N - 2

Після того, як визначили значення t, його порівнюють із граничним значенням (tгр). При порівнянні t і tгр визначається вірогідність різниць між двома вибірковими середніми арифметичними.

Якщо в результаті порівняння розрахованого за формулою t і постійного tгр визначиться, що t ³ tгр - різниця між порівнюваними вибірковими середніми арифметичними вірогідна (не випадкова), істотна і пояснюється впливом визначених чинників, а якщо t < tгр - не вірогідна (випадкова).

Причини вірогідних різниць:

1. Краща підготовленість одного із спортсменів або однієї із груп.

2. Одна з досліджуваних методик навчання руховим умінням і навичкам, або розвитку рухових якостей краща, найбільш ефективна.

3. Ефективно побудований навчально-тренувальний або навчально-виховний процес.

4. При застосуванні тієї ж самої методики тренування в різних умовах - причина в тому, що одні умови кращі, ніж інші.

5. При введенні в навчально-виховний або навчально-тренувальний процес нового педагогічного чинника з метою виявлення ефективності його використання - причина в ефективності застосування експериментального педагогічного чинника.

Якщо при порівнянні t розрахункового і t постійного (tгр) з’ясується, що t < tгр, різниця між порівнюваними вибірковими середнім арифметичними не вірогідна (випадкова) і пояснюється впливом випадкових чинників.

Причини не вірогідних різниць:

1. Неправильний добір вибірки.

2. Недостатня чисельність вибірки.

3. Однаковий рівень підготовленості обох груп, які підлягають дослідженню, або обох спортсменів.

4. Не ефективно побудований навчально-тренувальний або навчально-виховний процес.

5. У випадку порівняння двох методик навчання рухових умінь і навичок, або розвитку рухових якостей - ефект однаковий, методики ідентичні, не має значення за якою методикою працювати.

6. При введенні в навчально-тренувальний або навчально-виховний процес нового педагогічного чинника з метою виявлення ефективності його застосування - причина в негативному впливі нового педагогічного чинника на ефективність навчально-тренувального або навчально-виховного процесу.

7. У випадку застосування однієї методики в різних умовах, причина в однаковому результаті при тренування в різних умовах, немає істотних різниць, у яких умовах застосовувати досліджувану методику.

Розглянемо дану тему на прикладі:

Приклад: У двох групах плавців Xi і Уi визначили різницю ЧСС, уд/хв., після максимально швидкого проходження дистанції та у стані спокою. Встановити, чи вірогідна різниця за показником ЧСС у плавців двох груп.

Хі	92 94 95 97 99 100	Nx = 19
ni	3 4 7 2 1 2
Уi	98 102 103 104 105	Ny = 17
ni	3 5 6 1 2

Хід роботи

1. Визначаємо середнє арифметичне значення 2-х вибірок

2. Визначаємо дисперсії 2-х вибірок

Для подальшої роботи креслимо таблиці

а) Для показників першої вибірки

Хі	ni
		- 4
		- 2
		- 1
∑

б) Для показників другої вибірки

Уi	ni
∑

3. Визначаємо середнє квадратичне відхилення 2-х вибірок

4. Визначаємо t за формулою:

, тому що: Nх ¹ Nу і σ²х¹ σ²у

5. Визначаємо число ступенів свободи (К)

К = Nx + Ny - 2, тому що Nх ¹ Nу і σ²х¹ σ²у

К = 19 + 17 - 2 = 34

При К = 34, tгр = 2,03 (дивись додаток А).

6. Порівнюємо t розрахункове і t граничне.

t > tгр (7,69 > 2,03) - різниця між двома досліджуваними групами плавців вірогідна (не випадкова).

Висновок:

Тому, що t > tгр (7,69 > 2,03) - розбіжність між двома групами плавців за показником різниці ЧСС, уд/хв., після максимально швидкого проходження дистанції та у стані спокою, статистично вірогідна (не випадкова) і пояснюється кращим рівнем підготовленості спортсменів першої групи, тому що < (96 < 102).

Тепер цю роботу виконаємо за допомогою засобів

Excel (розрахункова частина)

Крок 1. Вводимо в стовпчик B електронної таблицірезультати різниці ЧСС, уд/хв. після максимально швидкого подолання дистанції та в стані спокою першої групи плавців (значення X); у стовпчик С - результати різниці ЧСС другої групи плавців (значення Y). При введенні даних обов’язково враховуємо кількість повторювань кожної варіанти.

Крок 2. У стовпчику А запишемо порядкові номера варіант та назви показників, які необхідно розрахувати. У комірці А21 запишемо середнє арифметичне; у комірці А22 – середнє квадратичне відхилення (або стандартне відхилення); у комірці А23 – помилку середнього арифметичного (або помилку репрезентативності); у комірці А24 – розрахункове значення критерію Ст’юдента (t розр.); у комірці А25 – критичне (табличне) значення критерію Ст’юдента (t табл.).

На рис. 3.1 представлена отримана таблиця.

Рис. 3.1 Таблиця даних різниці ЧСС двох груп плавців

Крок 3. Обраховуємо середнє арифметичне значення. Для цього виділяємо комірку В21 та скористаємося піктограмою вбудованих функцій . При залученні цієї піктограми з’являється вікно «Мастера функций», у якому вибираємо категорію «Статистические» функції та функцію СРЗНАЧ.

Натискаємо клавішу ОК. При цьому з’являється діалогове вікно для вводу аргументів функції. Інтервал даних для обчислення середнього арифметичного з’являється автоматично, тому що курсор стоїть внизу стовпчика з числовими значеннями. Однак інтервал у вікно діапазону даних можна ввести як із клавіатури, так і натиснувши на піктограму праворуч цього вікна та вибравши мишею діапазон.

Натискаємо клавішу ОК. У підсумку проведених дій у комірці В21 відобразиться середнє значення різниці ЧСС, уд/хв. після максимально швидкого подолання дистанції та в стані спокою першої групи плавців (значення X).

Крок 4. Для розрахунку середнього арифметичне значення різниці ЧСС, уд/хв другої групи плавців (значення Y) проводимо копіювання комірки В21у комірку С21.Обов’язково в «Строке формул» здійснюємо виправлення діапазону даних стовпчика С. Масив даних другої вибірки відповідає С2:С18.

У підсумку проведених дій у комірці С21 відобразиться середнє значення різниці ЧСС, уд/хв. після максимально швидкого подолання дистанції та в стані спокою другої групи плавців (значення Y).

Крок 5. Обраховуємо стандартне відхилення (або середнє квадратичне відхилення) першої вибірки у комірці В22. Для цього у комірку В22 за допомогою«Мастера функций»,вводимо функцію СТАНДОТКЛОН та зазначаємо масив В2:В20.

Крок 6.Обраховуємо стандартне відхилення (або середнє квадратичне відхилення) другої вибірки. Для цього копіюємо комірку В22у комірку С22, та обов’язково коректуємо масив. Для даного прикладу він повинен бути С2:С18.

Крок 7. Розраховуємо помилку середнього арифметичного (помилку репрезентативності) першої вибірки. Для цього значення комірки В22 необхідно розділити на корінь квадратний з кількості значень вибірки. У цій формулі будуть використовуватися дві вбудовані функції СЧЕТ та КОРЕНЬ. Маркер знаходиться у комірці В23, в яку вводимо формулу = В22/КОРЕНЬ(СЧЕТ(В2:В20)).

Крок 8. Розраховуємо помилку середнього арифметичного (помилку репрезентативності) другої вибірки. Для цього комірку В23 необхідно скопіювати у комірку С23 та виправити масив даних функції СЧЕТ у строчці формул. Формула повинна мати такий вигляд = С22/КОРЕНЬ(СЧЕТ(С2:С18)). Після зазначених дій у комірці С23 відобразиться значення помилки середнього арифметичного другої вибірки

У підсумку кроків 3 – 8 отримуємо таблицю з обрахованими середнім арифметичним значенням, стандартним відхиленням (або середнім квадратичним відхиленням) та помилкою репрезентативності (помилкою середнього арифметичного) для двох груп плавців, у яких фіксувалася різниця ЧСС, уд/хв. після максимально швидкого подолання дистанції та в стані спокою (рис 3.2).

Рис. 3.2 Таблиця результатів виконання кроків 3 - 8

Крок 9. Обчислюємо t -критерій Ст’юдента (t розр.) відповідно формулі наданій у лабораторній роботі. Без урахування рівняння чи не рівняння обсягів вибірок та їх дисперсій, критерій вірогідності Ст’юдента для непов’язаних вибірок розраховується за формулою:

, де

mх mу – це похибка репрезентативності (або похибка середнього арифметичного значення) вибірок, які підлягають дослідженню.

Для цього виділяємо комірку В24, як показано на рис.3.2 та у строчці формул записуємо формулу:

=(В21-С21)/КОРЕНЬ(В23^2+С23^2). Натискаємо Enter і у комірці В24 з’явиться значення розрахункового критерію Ст’юдента для двох вибірок. Слід пам’ятати, що критерій Ст’юдента має лише позитивні значення, тому у робочих зошитах знак «-» ніколи не записується. Так, у даному випадку t розрахункове дорівнює 8,98709, або t=8,99.

Крок 10. Обраховуємо критичне (табличне) значення критерію Ст’юдента (t табл.) за допомогою засобів Excel. Для цього необхідно застосувати функцію СТЬЮДРАСПОБР. Ставимо маркер у комірку В25, викликаємо «Мастер функций» за допомогою піктограми та вибираємо функцію СТЬЮДРАСПОБР (рис.3.3).

У вікні вводу даних аргументів функції вводимо у першій строчці імовірність 0,05, а у другій строчці – число ступенів волі 34, та натискаємо ОК. В результаті цих дій у комірці В25 з’являється значення критичного (табличного) критерію Ст’юдента.

Результати обчислення лабораторної роботи №3 представлені на рис. 3.5.

Рис.3.3 Виклик функції для розрахунку табличного значення критерію Ст’юдента

Рис. 3.4 Діалогове вікно вводу даних для функції СТЬЮДРАСПОБР

Рис.3.5 Підсумкова таблиця розрахунків для проведення порівняння двох вибіркових середніх арифметичних

Крок 11 Порівнюємо t розрахункове і t граничне.

t > tгр (8,98 > 2,03) - різниця між двома досліджуваними групами плавців вірогідна (не випадкова).

Висновок:

Тому, що t > tгр (8,98 > 2,03) - розбіжність між двома групами плавців за показником різниці ЧСС, уд/хв., після максимально швидкого проходження дистанції та у стані спокою, статистично вірогідна (не випадкова) і пояснюється кращим рівнем підготовленості спортсменів першої групи, тому що < (96 < 102).

Завдання для контрольної роботи

1. Ознайомитися і оволодіти теоретичними відомостями з теми «Вибірковий метод. Порівняння двох середніх арифметичних за допомогою критерію Ст’юдента».

2. Відповідно до прикладу, виконати самостійно завдання зі свого виду спорту.

2.1. Скласти умови задачі (обсяг вибірок не менше 15 варіант), яка буде вирішуватися за допомогою розрахунку критерія Ст’юдента.

2.2. Записати алгоритм вирішення задачі засобами редактора електронних таблиць Excel.

2.3. Записати результати розрахунків.

2.4. Записати висновок згідно умовам задачі.