Занятие 3. Элементарные методы построения графиков функций

Следующие функции называются основными элементарными.

1. Степенная функция: у = x^a, .

2. Показательная функция: у = а^х, а > 0, a ≠ 1.

3. Логарифмическая функция: y = log _ax, a > 0, a ≠ 1.

4. Тригонометрические функции: y =sin x, y =cos x, у = tg x, y = ctg x.

5. Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Элементарной называется всякая функция, которая может быть получена из конечного числа основных элементарных функций с помощью арифметических операций и операции композиции.

Графиком функции y = f (x) называется множество

где R ² − множество всех точек плоскости.

На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат Оху график функции представляется множеством точек М (х, y), координаты которых удовлетворяют соотношению y = f (x) (графическое изображение функции).

При построении графиков часто используются следующие простые геометрические рассуждения. Если Г − график функции y = f (x), то:

1) график функции y ₁ = − f (x) есть зеркальное отображение Г относительно оси Ох;

2) график функции y ₂ = f (− x) − зеркальное отображение Г относительно оси Оу;

3) график функции y ₃ = f (x − a) − смещение Г вдоль оси Ох на величину а;

4) график функции y ₄ = b + f (x) − смещение Г вдоль оси Оу на величину b;

5) график функции y ₅ = f (ax), а > 0, a ≠ 1, − сжатие в а раз (при а > 1) или растяжение в 1/ а раз (при а < 1) Г вдоль оси Ох;

6) график функции y ₆ = bf (x), b > 0, b ≠ 1 − растяжение в b раз (при b > 1) или сжатие в 1/ b раз (при b < 1) Г вдоль оси Оу.

В некоторых случаях при построении графика функции целесообразно разбить ее область определения на несколько неперссекающихся промежутков и последовательно строить график на каждом из них.

Подробнее см. МП-4.

Задачи:

Построить графики следующих элементарных функций:

1.176. у = у ₀ + а (х − х ₀)², если: а) a = 1, x ₀ = 0, y ₀ = −1.

1.177. , если: а) k = 1, x ₀ = 1, y ₀ = −1.

1.178. y = a sin(kx + α), если: а) а = 1, k = 2, α = π/3.

1.179. y = a tg(kx + α), если: а) а = 3, k = 1/3, α = π/4.

1.180. y = p arcsin(x + q), если: а) р = 4, q = −1.

1.181. y = p arctg(x + q), если: а) р = −3, q = 5/2.

1.182. у = a^{kx + b}, если: а) а = 2, k = − 1, b = 1.

1.183. y = log _a (kx + b), если: а) а = 10, k = 10, b = −1.

1.185. y = x ² + x − | x |.

1.190. . 1.191. .

1.197. y = log_1/2| x − 3|.

1.205. .

Домашнее задание:

1.176. у = у ₀ + а (х − х ₀)², если: б) a = 2, x ₀ = 1, y ₀ = 0.

1.177. , если: б) k = −2, x ₀ = −1, y ₀ = −1/2.

1.178. y = a sin(kx + α), если: б) а = −2, k = 1/2, α = −π/3.

1.179. y = a tg(kx + α), если: б) а = −1/2, k = 2, α = 3π/2.

1.180. y = p arcsin(x + q), если: а) р = −2/3, q = 1/2.

1.181. y = p arctg(x + q), если: а) р = 2/5, q = −6.

1.182. у = a^{kx + b}, если: а) а = 1/2, k = 2, b = −2.

1.183. y = log _a (kx + b), если: а) а = 1/10, k = 1/2, b = 2.

1.186. y = x ² − 6| x| + 9.

1.187. y = |6 x ² + x| − 1.

1.198. y = |log₂(x + 1)|.

1.202. y = |arctg(x − 1)|,

1.204. .