Вычисление теоретических характеристик

Таблица 2

№ интерв.	Границы интерв.
	-2.46	-2.32	0.010
				0.021	2.2		0.8	0.34
	-2.02	-1.86	0.032
				0.050	5.0	6.0	1.0	0.21
	-1.59	-1.40	0.082
				0.094	9.4		-0.4	0.02
	-1.15	-0.93	0.175
				0.143	14.3		2.7	0.50
	-0.71	-0.47	0.319
				0.177	17.7		-1.8	0.17
	-0.27	-0.01	0.496
				0.178	17.8		-6.8	2.61
	0.16	0.45	0.675
				0.145	14.5		4.5	1.38
	0.60	0.91	0.820
				0.096	9.6		1.4	0.21
	1.04	1.38	0.916
				0.051	5.1		-0.1	0.00
	1.47	1.84	0.967
				0.022	2.2		0.8	0.27
	1.91	2.30	0.989
							=	5.70

-эмпирическое значение критерия согласия Пирсона (критерия c²);

-критическое значение критерия Пирсона, полученное для доверительной вероятности (т.е. на уровне значимости =5%) и числа степеней свободы из таблицы приложения 2.

Сводная таблица проверки гипотез Таблица 3

№№ гипотез	Нулевая гипотеза Н0	Условная запись нулевой гипотезы	Проверка гипотез	Заключение по гипотезе
	о нормальности распределения		5.70	14.1	Гипотеза не отвергается
	о незначимости асимметрии		0.030	0.72	Гипотеза не отвергается
	о незначимости эксцесса		0.69	1.27	Гипотеза не отвергается

Вывод: Анализ результатов проверки статистических гипотез позволяет сделать вывод о том, что рассматриваемая случайная величина подчиняется нормальному закону распределения с параметрами: математическое ожидание M_X = 0.27, среднее квадратическое отклонение s_X = 0.95.

Задание 2. Определение корреляционной зависимости между рядами наблюдений (Регрессионный анализ данных)

Перед выполнением задания 2 необходимо изучить следующие вопросы.

1. Статистическая связь (корреляция) между двумя случайными величинами. Ковариация. Линейная и нелинейная корреляция.
2. Коэффициент корреляции, его свойства. Оценка коэффициента корреляции по выборочным данным. Оценка значимости и надежности коэффициента корреляции. Критерий Фишера.

3. Функция регрессии. Уравнение регрессии. Вычисление параметров уравнения прямой регрессии и оценка их точности. Точность регрессии.

1. Понятие о множественной корреляции.

Задача. В таблице №1 приведены длины сторон измеренные светодальномером, и их истинные ошибки = .

1) Вычислить оценку коэффициента корреляции между приведенными величинами и определить его значимость и надежность;

2) Получить уравнение регрессии (формулу прогнозов) и оценить точность регрессии;

3) Сделать вывод.

Таблица 1

№№п/п	x i ,(км)	yi , (см)	№№п/п i	x i ,(км)	yi , (см)i
	7.0+ 0.1 i	5.5		6.2	5.0
	9.2+ 0.1 i	6.5		8.5	5.0
	8.5+ 0.1 i	7.0		6.5	6.5
	7.4+ 0.1 i	4.5		2.0	2.0
	5.6+ 0.1 i	2.5		5.3	5.0
	3.0	3.5		8.5	5.0
	3.5	2.5		4.5	2.5
	8.1	6.0		6.7	4.0
	7.2	7.0		4.7	3.0
	5.7	5.5		7.5	5.5

У к а з а н и е: i - последняя цифра учебного шифра студента.

Например, для варианта 7: 0.1 i = 0.7.

План выполнения задания.

1. Построить поле корреляции (точечную диаграмму), изобразив в прямоугольной системе координат точки с координатами, соответствующими каждой паре наблюдений

2. На основании поля корреляции сделать предположение о наличии между случайными величинами X и Y корреляционной зависимости и о форме этой зависимости (линейная или нелинейная).

3. Вычислить оценки математических ожиданий случайных величин X и Y - средние арифметические и .

4. Вычислить оценки средних квадратических отклонений и .

5. Вычислить оценку коэффициента корреляции - выборочный коэффициент корреляции.

6. Проверить гипотезу о не значимости коэффициента корреляции.

7. Оценить надежность коэффициента корреляции (критерий Фишера).

8. Получить уравнение регрессии случайной величины Y на X. Нанести прямую линию регрессии на график.

9. Оценить точность регрессии.

10. Выполнить точечную и интервальную оценку точности параметров уравнения регрессии

11. Сделать общий вывод по результатам анализа.

Методические указания и рабочие формулы к заданию 2.

1. - оценка математического ожидания случайной величины X (среднее арифметическое).

2. - оценка математического ожидания случайной величины Y (среднее арифметическое).

3. - оценка среднего квадратического отклонения случайной величины X.

4. - оценка среднего квадратического отклонения случайной величины Y.

5. - оценка коэффициента корреляции (выборочный коэффициент корреляции).

6. - нулевая гипотеза о не значимости коэффициента корреляции

Эмпирическое значение критерия проверки гипотезы: .

Критическое значение критерия находится из таблицы распределения Стьюдента (приложение 4) по доверительной вероятности и числу степеней свободы

Если , то нулевая гипотеза отклоняется, и коэффициент корреляции значим.

7. - доверительный интервал для коэффициента корреляции r согласно критерию Фишера, где

b - принятая доверительная вероятность;

th - символ гиперболического тангенса;

,

- функция Фишера;

- среднее квадратическое отклонение величины Z;

= arg Ф() - аргумент функции Лапласа (приложение3), соответствующий доверительной вероятности b (100β% квантиль стандартного нормального распределения).

Если , то коэффициент корреляции считать надежным, а корреляционную зависимость между X и Y установленной.

8. - уравнение прямой регрессии;

- параметры уравнения регрессии.

9. Оценка точности регрессии.

- точность регрессии (остаточное среднее квадратическое отклонение точек поля корреляции от прямой регрессии, или иначе - средняя квадратическая ошибка измерений значений ), где .

10. Оценка точности параметров прямой регрессии.

а) точечная:

- средние квадратические отклонения (точность) параметров и уравнения регрессии.

б) интервальная:

- доверительный интервал для коэффициента функции регрессии;

- доверительный интервал для коэффициента функции регрессии;

- аргумент функции Лапласа: .

Пример выполнения задания №2