Решение задачи Коши

Задача Коши или начальная задача для системы дифференциальных уравнений

, (1)

где – неизвестный вектор, – вектор-функция, состоит в нахождении решения системы, удовлетворяющего начальным условиям:

(2)

Дифференциальное уравнение n-го порядка,

сводится к системе (1) с помощью подстановок:

При численном решении задачи Коши рассматривается последовательность точек , в общем случае, с переменной длиной шага . В каждой точке решение системы аппроксимируется вектором , значение которого вычисляется по найденным значениям в предыдущих точках .

Погрешность аппроксимации, возникающая на каждом шаге, может быть описана следующим образом. Пусть рассматривается дифференциальное уравнение:

,

где - точное решение уравнения, удовлетворяющее условию: . Локальной ошибкой дискретизации называется величина:

Численный метод имеет порядок точности p, если .

Рассмотрим методы решения задачи Коши на примере уравнения первого порядка

. (3)

Отметим, что все изложенные ниже методы применимы также при решении задачи Коши для системы уравнений (1), однако в этом случае все соотношения являются векторными.