Нечеткая логика

Пусть Х – произвольное непустое множество. Нечетким множеством (fuzzy set) А называется множество пар

где х принадлежит Х, значения m (х) лежат на отрезке [0, 1].

Функция m (х), которая отображает множество Х на отрезок [0, 1] называется функцией принадлежности нечеткого множества А, а Х называется базовым множеством или базовой шкалой.

Возможные формы задания функции принадлежности:

· · графический;

· · аналитический;

· · табличный.

Рисунок 14 – Формы функций принадлежности:

1- треугольная, 2 – треугольная-Z типа, 3 – треугольная-S типа, 4 – треугольная-Z-S типа, 5 – колоколообразная, 6 – колоколообразная-Z типа, 7 – колоколообразная-S типа, 8 – колоколообразная-Z-S типа, 9 – трапецеидальная, 10 – трапецеидальная-Z типа, 11 – трапецеидальная-S типа, 12 – трапецеидальная-Z-S типа, 13 – трапецивидная-колоколообразная, 14 – трапецивидная-колоколообразная-Z типа, 15 – трапецивидная-колоколообразная-S типа, 16 – трапецивидная-колоколообразная-Z-S типа, 17 – точечная.

Существует ряд методов построения по экспертным оценкам функции принадлежности нечеткого множества.

Можно выделить две группы методов: прямые и косвенные.

Прямые методы определяются тем, что эксперт непосредственно задает правила определения значений функции принадлежности m_А, характеризующей понятие А. Эти значения согласуются с его предпочтениями на множестве объектов U следующим образом:

· · для любых u1, u2 ÎU mА(u1)<mА(u2) тогда и только тогда, когда u2 предпочтительнее u1, т.е. в большей степени характеризуется понятием А;

· · для любых u1, u2 ÎU mА(u1)=mА(u2) тогда и только тогда, когда u1 и u2 безразличны относительно понятия А.

Примеры прямых методов: непосредственное задание функции принадлежности таблицей, формулой, примером.

В косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таких образом, чтобы удовлетворить заранее сформулированным условиям. Экспертная информация является только исходной информацией для дальнейшей обработки. Дополнительные условия могут налагаться как на вид получаемой информации, так и на процедуру обработки.

Однако функция принадлежности может отражать, как мнение группы экспертов, так и мнение одного (уникального) эксперта, следовательно, возможны, по крайней мере, четыре группы методов: прямые и косвенные для одного эксперта, прямые и косвенные для группы экспертов. Кроме того, существуют методы построения функций принадлежности терм-множеств. Классификация методов представлена на рисунке 9.

Рисунок 15 – Классификация методов построения функции принадлежности

Лингвистической переменной (linguistic variables)называется тройка < b, T, X >, где b – наименование лингвистической переменной; Т – множество ее значений (термов), представляющих наименование нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество Х. Например: <Стоимость, Т, [0; 5000]>, где Т={«малая», «средняя», «высокая»}.

Носителем А называется множество тех его элементов х, для которых m (х) положительна:

Носитель .

Точка перехода А – это элемент х множества А, для которого m (х)=0.5.

a-срез нечеткого множества (А _a) – множество элементов х, для которых функция принадлежности m (х) принимает значения не меньше заданного числа a (0< a <1):

.

Высота нечеткого множества А находится как точная верхняя грань (максимум) его функции принадлежности:

Высота .

Если высота нечеткого множества равна 1, то такое множество называется нормализованным. В том случае, когда высота нечеткого множества А меньше 1 (такое множество называется субнормальным), можно осуществить переход к нормализованному множеству путем деления его функции принадлежности m (х) на высоту .

Если носитель нечеткого множества А состоит из единственной точки х, то такое множество называется одноточечным (singleton).

Лингвистические правила – инструкции, построенные по схеме логической импликации ЕСЛИ-ТО.

Нечеткий алгоритм (fuzzy algorithm) – упорядоченное множество нечетких инструкций (правил), в формулировке которых содержаться нечеткие указания (термы).

Процесс перехода от «четкого» (т.е. измеренного) значения к его «нечеткой» интерпретации называется фаззификацией (fuzzyfication).

Логическим выводом называется процесс получения нечеткого значения результирующих переменных на основе фактических значений входных лингвистических переменных с использованием нечеткого алгоритма. В процессе логического вывода определяются уровни активности правил исходя из значений функции принадлежности переменных в условной части правила.

Наиболее известные механизмы логического вывода:

· · метод Максимума-Минимума (MAX-MIN-Inference);

· · метод Максимума-Произведения (MAX-Product-Inference);

При использовании логического вывода результатом выполнения лингвистических правил является некоторое нечеткое множество, описываемое результирующей функцией принадлежности.

Переход от полученного нечеткого множества к единственному четкому значению, которое и признается затем в качестве решения поставленной задачи, называется дефаззификацией (defuzzyfication).

Перечислим некоторые из наиболее известных методов дефаззификации:

а) Метод Максимума – выбирается тот элемент нечеткого множества, которые имеет наивысшую степень принадлежности этому множеству.

Если такой элемент не является единственным, т.е. функция принадлежности m _в(у) имеет несколько локальных максимумов у ₁, у ₂,… у _m со значениями m _в(у ₁)= m _в(у ₂)=…= m _в(у _m), или если имеется максимальное «плато» между у ₁ и у _m, то выбор среди элементов, имеющих наивысшую степень принадлежности множеству, осуществляется на основе определенного критерия.

б) Метод левого (правого) максимума – выбирается наименьшее (наибольшее) из чисел у ₁, у ₂,… у _m, имеющих наивысшую степень принадлежности нечеткому множеству.

в) Метод среднего из максимумов – в качестве искомого «четкого значения у ₀ принимается среднее арифметическое координат локальных максимумов

.

г) Метод Центра Тяжести (Сenter-of-Area) – в качестве выходного значения у ₀ выбирается абсцисса центра тяжести площади, расположенной под функцией принадлежности m _в(у), у Î Y:

.

При необходимости вычисления на у ₀ ЭВМ в реальном времени, с учетом реальных вычислительных затрат, обычно операцию интегрирования заменяют суммированием.

Существует простая возможность использования для этих целей взвешенного среднего значения

,

где , (i =1, 2, … n) – центральные значения нечетких подмножеств В_i (у) выходной переменной у;

a_i – веса, учитывающие уровень выполнения условия «ЕСЛИ» i -го правила, называемые также уровнями активности соответствующих правил или a -уровнями;

n – число правил вывода;

д) Модифицированный метод центра тяжести – интегрирование производится только в тех областях, где m_в(у)>a, aÎ(0, 1), у Î Y. Параметр a используется здесь для подавления шумов, отсеивания влияния малосущественных для процедуры вывода факторов (на практике можно применять a =0,05¸0,1).

Рисунок 16 – Функциональная схема интеллектуальной системы поддержки решений, на базе алгоритмов нечеткой логики