Гармонические колебания

Колебаниями называются процессы, характеризующиеся повторяемостью во времени. Колебания бывают свободными, если они совершаются за счет собственной энергии при отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Простейшими колебаниями являются гармоническими. Любые периодические процессы можно представить как наложение нескольких гармонических колебаний. Если точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия в начале координат, то зависимость координаты от времени t задается уравнением х = A_mcos(w₀t + j), A_m - максимальное значение х (амплитуда колебания), w₀ - круговая (циклическая) частота, j - начальная фаза колебаний в момент времени t =0, (w₀t + j) - фаза колебаний в момент времени t.

Так как косинус изменяется от -1 до +1, то х принимает значения от - А до + А. Положения точки повторяются через промежуток времени Т (период), за который фаза колебаний получает приращение 2p.

w₀(t + T) = w₀t + 2p, откуда T = 2p/w₀. Величина, обратная периоду колебаний, n = 1/T. т.е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Поэтому w₀ =2pn. Поскольку скорость является первой производной по времени от координаты, а ускорение второй производной,

v = - Aw₀sin(w₀t + j) = Aw₀cos(w₀t + j + p/2).

a = Aw₀²cos(w₀t + j) = Aw₀ ²cos(w₀t + j + p).

Сила F = - am, действующая на точку массой m, будет равна F = -mw₀²x.

Сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону. Кинетическая энергия точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

W_кин. = mv²/2 = [mA₀²w₀²sin²(w₀t +j)]/2.

W_кин. = [mA₀²w₀² {1 - cos2(w₀t +j)}]/4.

Потенциальная энергия точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна

W_пот. = - ₀ò^хFdx = (mw₀²x₀²)/2 = [mA₀²w₀²cos²(w₀t +j)]/2.

W_пот. = [mA₀²w₀²{1 + cos²2(w₀t +j)}]/4.

Сумма кинетической и потенциальной энергии дает полную энергию, которая остается постоянной.

W_пол. = W_кин. + W_пот. = W_пот. = (mw₀²А₀²)/2,

При гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии. Обе энергии изменяются с частотой 2w₀.