Б. Методика и техника эксперимента

Установка для определения ускорения свободного падения представляет собой вогнутую сферическую чашу, по которой может свободно перемещаться шарик, совершая колебательное движение. Если шар радиуса r поместить на вогнутую поверхность СAB радиуса R, то он займет равновесное положение с минимальной потенциальной энергией, соприкасаясь с поверхностью в точке A. При отклонении шара от положения равновесия (точки B или C) он придет в колебательное движение. Колебания с небольшой амплитудой можно считать незатухающими гармоническими. Отклонение шарика от положения равновесия х будем оценивать по положению центра инерции шарика (его геометрическому центру). При гармонических колебаниях зависимость смещения центра масс от времени имеет вид: x_c = asin((2π/T)t), где a - амплитуда колебаний, T - период. Найдем зависимость скорости центра масс от времени:. v_c = dx_c/dt = a(2π/T) cos(2π/T)t. Шарик участвует в двух движениях: перемещении, как целого со скоростью, равной скорости центра масс, и вращении относительно оси, проходящей через центр масс с угловой скоростью ω. При отсутствии проскальзывания ω = v_c/r.= (a/r) (2π/T) cos(2π/T)t. Скорости шарика (линейная и угловая), принимают максимальное значение при прохождении шариком положения равновесия, cos(2π/T)t = 1, v_c.= a(2π/T), ω = (a/r) (2π/T). Поскольку диссипативными процессами в системе можно пренебречь, применим закон сохранения механической энергии. В крайних положениях шарик обладает потенциальной энергией W_n = mgH, где

H = EQ высота поднятия центра шарика над положением равновесия. В положении равновесия шарик обладает кинетической энергией W_k = (mv_cm²)/2 + (Iω_m²)/2, где I - момент инерции шарика относительно его центра инерции. Приравняв эти выражения, получаем: mgH = (mv_cm²)/2 + (Iω_m²)/2. Высота подъема H через амплитуду a. Обозначим EQ = R - радиус сферы, по которой движется центр шарика. Из геометрических соображений можно записать:

H(2R – H) = a². При малых амплитудах колебаний H << 2R. Тогда

2RH = a², и H = (a²)/2R. Момент инерции шарика относительно центра инерции равен I = (2/5)mr². Подставим в закон сохранения, получим mg(a²/2R) = [ma²(2π/T)]/2 + [(2/5)mr²(a²/r²)(2π/T)²]/2, откуда после алгебраических преобразований получаем: g = (28π²R)/(5T²). Экспериментально с помощью сферометра измеряется радиус кривизны сферической вогнутой поверхности R = CO, поэтому, если N - число полных колебаний шарика за t секунд, то период колебаний равен T = t/N. Тогда g = (28π²N²(R – r))/(5t²). Для определения радиуса сферической поверхности используется сферометр. В его описании приведена формула вычисления радиуса сферической поверхности:

R = [l²/(6(h – h₀)] + (h – h₀)/2. где l - расстояния между ножками сферометра, h - отсчет по сферометру, помещенному на вогнутую поверхность, h₀ - отсчет по сферометру, помешенному на плоскопараллельную пластинку. При h₀ =0 R = l²/(6h) + h/2. Это выражение приобретает вид расчетной формулы: g = [(14 π²N²)/(5t²)] (l²/3h + h – d), где d = 2r - диаметр шарика.