Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Р(А) -вероятность события;
Р(Hi) -вероятность гипотез;
Р(А/Hi) - вероятность события при соответствующей гипотезе.
П р и м е р: имеются три одинаковых корзины. В первой корзине - 2 белых и 1 черный шар, во второй - 3 белых и 1 черный шар; в третьей - 2 белых и 2 черных шара. Какова вероятность из наугад выбранной корзины извлечь белый шар.
Р е ш е н и е: рассмотрим 3 гипотезы - Н1 - выбрали первую корзину; Н2 -выбрали вторую корзину; Н3 -выбрали третью корзину.Если корзиныодинаковы, то Р(H1) =Р(H2) =Р(H3) = 1/3.
Условные вероятности события А при этих гипотезах:
Р(А/H1) = 2/3; Р(А/H2) = 3/4; Р(А/H3)= 1/2.
Вероятность события А рассчитаем по формуле полной вероятности:
Р(А) = Р (Н1) ´Р(А/Н1)+Р (Н2)´Р (А/Н2)+Р(Н3)´Р (А/Н3) = 1/3 ´ 2/3 +1/3´ 3/4 + 1/3 ´ 1/2 = 0,639.
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ АЛГОРИТМЫ В ДИАГНОСТИКЕ. ТЕОРЕМА БАЙЕСА.
(Ливенцев Н.М., стр. 308)
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.
Задача диагностики заключается в том, чтобы на основании симптомокомплекса, установленного у больного, и данных диагностической таблицы определить вероятности каждой из имеющихся в таблице болезней. Это можно сделать на основании теоремы об умножении вероятности с использованием формулы Байеса:
Р(Hi/А) -вероятность гипотезы при данном симптомокомплексе;
Р(Hi) - вероятность гипотезы;
Р(А/Hi) -вероятность симптомокомплекса при данном заболевании.
Диагностическая таблица (упрощенный вариант).
Р (S1/Hi ) | Р (S2/Hi ) | Р (S3/Hi ) | |
Р(H1) = 0.4 | 0.1 | 0.4 | 0.3 |
Р(H2) = 0.5 | 0.2 | 0.1 | 0.9 |
Р(H3) = 0.1 | 0.4 | 0.9 | 0.7 |
Р(S1/Hi ) -вероятность первого симптома при разных заболеваниях;
Р(S2/Hi ) -вероятность второго симптома при разных заболеваниях;
Р(S3/Hi ) -вероятность третьего симптома при разных заболеваниях.
Если в наличии все три симптома (симптомокомплекс), то:
Р(А/H1)=Р(S1/H1 )´Р(S2/H1 )´Р (S3/H1 )= 0.1´0.4´ 0.3 = 0.012
Р(А/H2)=Р(S1/H2 )´Р(S2/H2 )´Р(S3/H2 )= 0.2´0.1´0.9 = 0.018
Р(А/H3)=Р(S1/H3 )´Р(S2/H3 )´Р(S3/H3 ) = 0.4´0.9´0.7 = 0.252
Вероятность первого заболевания при данном симптомокомплексе:
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
(А.Н.Ремизов, 1987,стр.31-32, А.Н.Ремизов, 1999,стр.24-25).
Случайной называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. Различают д и с к р е т н ы е и н е п р е р ы в н ы е случайные величины.
Дискретной называют величину, если она принимает счетное множество значений.
(Пример: число пациентов на приеме у врача, число букв на странице, число молекул в заданном объме).
Непрерывной называют величину, которая может принимать значения внутри некоторого интервала.
(П р и м е р: температура воздуха, масса тела, рост человека и т.д.)
Законом распределения случайной величины является совокупность возможных значений этой величины и, соответствующих этим значениям, вероятностей (или частот встречаемости).
П р и м е р:
x | x1 | x2 | x3 | x4 | ... | xn |
p | р1 | р2 | р3 | р4 | ... | pn |
m | m1 | m2 | m3 | m4 | ... | mn |
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
(А.Н.Ремизов, 1987, стр.34-37, А.Н.Ремизов, 1999, стр.27-30, Н.Л.Лобоцкая,1978, стр. 353).
Во многих случаях наряду с распределение случайной величины или вместо него информацию об этих величинах могут дать числовые параметры, получившие название числовых характеристик случайной величины. Наиболее употребительные из них:
1. Математическое ожидание - (среднее значение) случайной величины есть сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений:
М(Х) = x1 ´ р1 + x2 ´ р2 + x3 ´ р3 + ¼ + xn ´ рn = å xi ´ рi
2. Дисперсия случайной величины:
D(X) = å(M(X) - xi)2 ´ рi
3. Среднее квадратическое отклонение:
s = Ö D(X)
Правило “ТРЕХ СИГМ” - если случайная величина распределена по нормальному закону, то отклонение этой величины от среднего значения по абсолютной величине не превосходит утроенного среднего квадратического отклоненияM(X)±3s
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
(А.Н.Ремизов, 1987,стр.37-40, Н.Л.Лобоцкая,1978, стр. 348).
Наиболее часто встречаются величины, распределенные по нормальному закону (закон Гаусса). Г л а в н а я о с о б е н н о с т ь - он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.
Случайная величина распределена по нормальному закону, если плотность вероятности ее имеет вид:
где
M(X) - математическое ожидание случайной величины;
s - среднее квадратическое отклонение.
График плотности вероятности нормально распределённой величины |
Плотность вероятности (функция распределения) показывает, как меняется вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, в зависимости от значения самой величины:
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
(А.Н.Ремизов, 1987,стр.44-48, А.Н.Ремизов, 1999,стр.37-42, Н.Л.Лобоцкая,1978, стр. 363-371).
Математическая статистика - раздел прикладной математики, непосредственно примыкающий к теории вероятностей. Основное отличие математической статистики от теории вероятностей состоит в том, что в математической статистике рассматриваются не действия над законами распределения и числовыми характеристиками случайных величин, а приближенные методы отыскания этих законов и числовых характеристик по результатам экспериментов.
Основными понятиями математической статистики являются:
1. Генеральная совокупность;
2. выборка;
3. вариационный ряд;
4. полигон частот;
5. гистограмма.
Генеральная совокупность - большая статистическая совокупность, из которой отбирается часть объектов для исследования
(П р и м е р: все население области, студенты вузов данного города и т.д.)
Выборка (выборочная совокупность) - множество объектов, отобранных из генеральной совокупности.
Вариационный ряд - статистическое распределение, состоящее из вариант (значений случайной величины) и соответствующих им частот.
П р и м е р:
X,кг | ||||||||||||
m |
x - значение случайной величины (масса девочек в возрасте 10 лет);
m - частота встречаемости.
Используют дискретное (точечное) статистическое распределение и непрерывное (интервальное) статистическое распределение.
Для наглядности статистические распределения изображают графически в виде полигона частот или - гистограммы.
Полигон частот - ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (x1,m1), (x2,m2),..., или для полигона относительных частот – с координатами (x1,р*1), (x2,р*2),...(Рис.1).
m mi/n f(x)
x x
Рис.1 Рис.2
Гистограмма частот - совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой линии (Рис.2), основания прямоугольников одинаковы и равны dx, а высоты равны отношению частоты к dx, или р* к dx (плотность вероятности).
П р и м е р:
Дата публикования: 2015-09-18; Прочитано: 266 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!