Згладжування рядів динаміки

Значення рівнів у_і часових рядів формуються під дією, як правило, багатьох факторів. Деякі з них діють постійно і незмінно протягом усього часу спостереження і саме ці фактори формують основну тенденцію розвитку явища, яку треба виявити. Дія інших факторів може бути нестабільною, короткочасною або мати випадковий характер і викликає флуктуації рівнів ряду, що ускладнює виявлення тренду.

Для нейтралізації дії останніх і виявлення основної тенденції та її характеру, застосовують зазвичай методи згладжування або аналітичного вирівнювання часових рядів.

Розглянемо перший з них, який застосовний тільки для рівномірних неперервних рядів без коливань.

Існують два основні різновиди методу згладжування, які суттєво відрізняються один від одного: метод укрупнення інтервалів та метод змінної середньої.

Метод укрупнення інтервалів застосовний тільки для інтервальних рядів і полягає у тому, що декілька сусідніх часових інтервалів вихідного динамічного ряду об’єднуються в один, тобто утворюється новий ряд динаміки з укрупнених часових інтервалів. Схематично це можна зобразити, наприклад, так:

При цьому: рівень ознаки Y кожного укрупненого інтервалу дорівнює сумі рівнів тих первинних інтервалів, з яких він утворений; число інтервалів вихідного ряду в кожному укрупненому може бути довільним, але однаковим. Очевидно, що цей метод може застосовуватись тільки у випадках, коли число п первинних інтервалів націло ділиться на число k укрупнених інтервалів. При цьому частка m=n/k дорівнює числу первинних інтервалів у кожному укрупненому. Якщо п – просте число, то даний метод взагалі не застосовний. Суттєвим його недоліком є також і те, що згладжений ряд скорочується порівняно з вихідним у т разів.

Розглянемо застосування вищезгаданого методу для такого, наприклад, вихідного ряду динаміки:

№ місяця (і)
уі	5,6	6,1	5,9	7,1	6,3	5,9	6,8	6,3	8,1	8,0	7,8	7,3

Проведемо згладжування даного часового ряду, об’єднуючи по три первинні інтервали (т =3). Тоді перший укрупнений інтервал згладженого ряду об’єднуватиме 1-й, 2-й і 3-й інтервали вихідного ряду, а його рівень у ₁=5,6+6,1+5,9=17,6. Аналогічно формуються інші укрупнені часові інтервали і обчислюються відповідні значення рівнів ознаки Y. У результаті одержуємо згладжений ряд динаміки:

№ кварталу (і)
уі	17,6	19,3	21,2	23,1

Метод змінної середньої застосовний для інтервальних і моментних рядів і полягає в заміні значення рівня кожного і -го часового інтервалу або моменту заданого ряду, крім (т -1)/2 перших і останніх, на середню арифметичну рівнів т сусідніх інтервалів або моментів, для яких даний і -й інтервал або момент є середнім (тобто, центральним). Ці т інтервалів або моментів будемо називати згладжувальними інтервалами або моментами для даного і -го інтервалу, а значення рівнів згладженого ряду – змінними середніми для т інтервалів або моментів. При цьому очевидно, що: число т повинно бути непарним; згладжений ряд скорочується порівняно з вихідними на (т -1)/2 інтервалів або моментів з кожного кінця. Схематично це можна зобразити, наприклад, так (для т =3):

Для наведеної схеми згладжений ряд є коротшим за вихідний на
(3–1)/2=1 інтервал з кожного кінця і містить інтервали з 2-го по 5-й. При цьому для 2-го інтервалу згладженого ряду згладжувальними є 1-й, 2-й та 3-й інтервали вихідного ряду, для 3-го – 2-й, 3-й та 4-й і т.д.

Слід підкреслити, що згладжений ряд містить ті ж часові інтервали або моменти, що й вихідний, але меншу їх кількість та інші (згладжені) значення рівнів ознаки Y.

Перевагою даного способу згладжування перед попереднім є те, що він застосовний для будь-яких значень п та містить більше часових інтервалів.

Проілюструємо згладжування часового ряду методом змінної середньої на попередньому прикладі для т =5. Згладжений ряд буде коротший за вихідний на (5–1)/2=2 інтервали з кожного кінця, тобто не матиме 1-го, 2-го, 11-го і 12-го інтервалів вихідного ряду. Згладжувальними інтервалами для 3-го інтервалу згладженого ряду будуть 1-й – 5-й інтервали вихідного ряду, а відповідний рівень ознаки Y згладженого ряду (тобто змінна середня 5-ти інтервалів) дорівнює у₃ =(5,6+6,1+5,9+7,1+6,3)/5=6,2. Аналогічно вибираються згладжувальні інтервали і обчислюються значення рівнів для інших інтервалів згладженого ряду. В результаті одержуємо такий часовий ряд:

№ місяця (і)
уі	6,20	6,26	6,40	6,48	6,68	7,02	7,40	7,50

Якщо згладжування вихідного динамічного ряду одним з вищерозглянутих методів не дає можливості виявити вид тенденції або її характер, то необхідно провести нове згладжування заданого ряду іншим способом і/або збільшувати число т (якщо це можливо).

Процедура з послідовним збільшенням числа т і/або зміною методу згладжування може повторюватись доти, доки не виявиться тенденція і/або її характер або число рівнів згладженого ряду стане менше трьох (що недопустимо за означенням часового ряду). В останньому випадку робимо висновок, що згладжування ряду динаміки не дає можливості виявити вид тенденції і/або її характер. Тоді відповідь на це питання напевно можна одержати, провівши аналітичне вирівнювання заданого ряду.