Определитель матрицы

Что же такое определитель? Определитель - это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов.

Нужно запомнить, что определитель матрицы - это число. Способы расчета определителя рассмотрим ниже.

Вычислить определитель можно только для квадратной матрицы! То есть для матрицы, которая имеет одинаковое количество строк и столбцов (m m).

Чаще всего на практике требуется найти определитель матриц 2 2 и 3 3. Реже – определитель 4-го порядка.

Что значит найти определитель? Вычислить определитель – это значит найти число.

Обозначения. Определитель матрицы A чаще всего обозначают |A|, можно встретить обозначение det A или Δ (мы будем использовать все).

Определитель первого порядка матрицы A = () равен элементу : det A = .

Определитель второго порядка обозначается символом:

и равен det A = (1)

(Произведение элементов, стоящих на главной диагонали минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Запомните формулу (1), определите 3-го, 4-го и высших порядков считаются, основываясь на этой формуле.

Пример 1. Пусть дана матрица А, нужно посчитать ее определитель:

det A = = 5*10 – 2*(–3) = 50 + 6 = 56.

Пример 2. Найти определитель матрицы:

det A = = (–1)*(–7) – (–13)*8 = 7 + 104 = 114.

Переходим к матрицам 3 3. Для нахождения определителя матрицы третьего порядка существует несколько способов расчета определителя:

СПОСОБ 1. Правило Саррюса (для определителей 3-го порядка)

Для матрицы: 3 3

Определитель находится суммированием шести произведений из трёх элементов. Действие выполняется согласно следующей схеме:

Первые два столбца матрицы записываются справа возле матрицы. Произведения элементов, стоящих на линях со знаком «плюс», складываются, затем вычитаются произведения элементов, находящихся на линях со знаком «минус»:

det A = (2)

Пример 3. Правило Саррюса.

Допишем к определителю два первых столбца.

СПОСОБ 2. Правило треугольника (для определителей 3-го порядка)

(Сумма произведений синих минус сумма произведений красных)

det A = (3)

Пример 4. Правило треугольника.

СПОСОБ 3. Разложение на определители меньшего порядка по строке или столбцу (применяется для определителей любого порядка).

Определитель третьего порядка обозначается символом:

и равен

det A = (4)

Алгебраическим дополнением элемента определителя матрицы называется число, равное произведению (в степени - номер строки плюс - номер столбца этого элемента) на определитель, который получается из данного в результате вычеркивания строки и столбца, где стоит этот элемент.

Пример 5. Дана матрица

Вычислить алгебраическое дополнение элемента .

По определению алгебраического дополнения

Таким образом, вычисление определителя произвольного порядка выполняется по следующему правилу: определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

Например, разложение определителя 4-го порядка по первой строке выглядит следующим образом:

Разложим определитель по второму столбцу (выбирать лучше ту строку или тот столбец, где больше нулей, если они есть).