МОДУЛЬ 2: Кривые и поверхности второго порядка, матрицы и системы линейных алгебраических уравнений

Лекция 7. Кривые второго порядка. Эллипс и гипербола: определение, вывод канонического уравнения, полуоси, эксцентриситет, фокусы. Парабола: определения, вывод канонического уравнения, параметр, эксцентриситет, директриса, фокус. Асимптоты гиперболы. Смещенные кривые второго порядка, координаты фокусов. Свойство касательных к кривым второго порядка и их оптическая интерпретация (без док-ва). *Косые сечения цилиндра и конуса (без док-ва). Исследование уравнения , различные типы кривых, соответствующих этому уравнению. Параметрические уравнения окружности, эллипса и гиперболы.

Лекция 8. Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения. Эллипсоид. Гиперболоиды. Конус. Параболоиды. Их канонические уравнения. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений. Нахождение проекции линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.

Лекции 9-10. Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции с матрицами и их свойства. Транспонирование матриц. Операция умножения матриц и ее свойства. *Четные и нечетные перестановки; общее определение определителя квадратной матрицы. Свойства определителя. Теорема об определителе произведения двух матриц (без док-ва). Обратная матрица, теорема о ее единственности. Присоединенная матрица и её свойство. Критерий существования обратной матрицы, её нахождение с помощью присоединенной матрицы. Матрица, обратная произведению двух обратимых матриц.

Элементарные преобразования матриц. Отношение эквивалентности матриц и его свойства. Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. *Блочные матрицы; блочно диагональные и блочно-треугольные матрицы; прямая сумма матриц; сложение и умножение блочных матриц.

Лекция 11. Решение матричных уравнений вида , и с невырожденными квадратными матрицами А и В. Линейные пространства: аксиомы, примеры. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства, критерий линейной зависимости. Базис и размерность линейного пространства, теоремы о них (без док-ва). Единственность разложения вектора по базису, координаты вектора. Арифметические действия над векторами, заданными своими координатами в базисе.

Лекция 12. Минор матрицы. Ранг матрицы. Базисный минор. Базисные строки и столбцы. Теорема об окаймляющих минорах и её следствия: теорема о базисном миноре, связь ранга матрицы с линейной зависимостью строк и столбцов, критерий вырожденности квадратной матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно ее элементарных преобразований (без док-ва). Способы вычисления ранга матрицы. Ранг системы векторов линейного пространства.

Лекция 13 Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Координатная, матричная и векторная формы записи. Понятие общего и частного решений СЛАУ. Критерий Кронекера – Капелли совместности СЛАУ. Решение «квадратных» систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Вывод формул Крамера. Метод Гаусса решения СЛАУ, выбор базисных и свободных неизвестных. Критерий единственности решения совместной СЛАУ. *Метод Жордана – Гаусса решения СЛАУ.

Лекция 14. Понятие подпространства линейного пространства. Примеры. Однородные СЛАУ, их совместность. Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ, его следствие для «квадратных» систем. Свойства решений однородной СЛАУ. Размерность пространства решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ. Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ. Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ. *Приложения СЛАУ.

Лекция 15. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом. *Экспоненциальная форма записи комплексного числа и формулы Эйлера. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа. *Решение кубических уравнений.

Лекция 16. Многочлены в действительной и комплексной области. Деление с остатком, теорема Безу, *схема Горнера. Корень многочлена и его кратность. Основная теорема алгебры (без доказательства). Разложение многочленов с комплексными и действительными коэффициентами на неприводимые множители. Теорема о тождестве двух многочленов, принимающих равные значения в бесконечном числе точек.

Примечание. Пункты, помеченные звездочкой *, излагаются на усмотрения лектора.