Упражнения. 1. Решите следующие задачи и объясните, какие геометрические фигуры выступают в них в качестве идеальных моделей реальных предметов:

1. Решите следующие задачи и объясните, какие геометрические фигуры выступают в них в качестве идеальных моделей реальных предметов:

I) Длина школьного коридора 30 м, а ширина 5 м. Какова площадь школьного коридора? 2) Землетрясение распространяется на земной поверхности со скоростью 0,8 км/с. Какую площадь мо­жет охватить землетрясение через 10 с? 3) Прямоугольный участок земли размером 130X00 м окопали рвом шириной 1 м, причем ров выкопали па участке. Какова новая площадь участка? 4) Плавательный бассейн прямоугольной формы имеет длину 50 м, ширину 24 м и глубину 3 м. Сколько кубических метров воды вмещает бассейн, если уровень воды в бассейне на 50 см ниже его борта?

2. Какая функция является моделью зависимостей, рассматриваемых в задачах:

1) Путь от А до В турист прошел за 3 ч. За сколько времени турист прошел бы тот же путь, если бы шел в 1,5 раза быстрее?

2) Совхозное поле три трактора могут вспахать за 60 ч. За какое время вспашут это поле 9 таких тракторов?

Объем и содержание понятия

Всякий математический объект обладает определенными свой­ствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали.

Можно указать и другие свойства квадрата.

Среди свойств объекта различают свойства существенные и несущественные для его выделения из других объектов. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Несущественные свойства — это такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта. Так, названные выше свойства квадрата являются существенными, а свойство «сторона AD квадрата ABCD горизонтальна» несущественное (если квадрат ABCD повернуть (рис. 1), то сторона AD окажется расположенной подругому). Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный объект достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте.

Совокупность всех взаимосвязанных существенных свойств объекта называют содержанием понятия об этом объекте.

Когда говорят о математическом объекте, то обычно имеют в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним терми­ном (словом, названием). Так, когда говорят о квадрате, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Совокупность всех квадратов составляет объем понятия квадрата.

Вообще объем понятия — это совокупность всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином.

Таким образом, всякое понятие характеризуется термином, объемом и содержанием.

Между объемом понятия и его содержанием существует связь: чем «больше» объем понятия, тем «меньше» его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «прямоугольный тре­угольник» «меньше» объема понятия «треугольник», поскольку в объем первого понятия входят не все треугольники, а только прямоугольные. Но содержание первого понятия «больше» содержания второго: прямоугольный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и другими, присущими только прямо­угольным треугольникам.

Начальный курс математики насыщен различными математическими понятиями. Так, уже в I классе учащиеся знакомятся с понятиями «цифрам., «число», «слагаемое», «сумма», «отрезок», «длина отрезка» и многими другими. Во II классе к ним добавля­ются понятия, связанные с умножением и делением, в III — понятия дроби, площади фигуры и другие.