Понятие множества. Операции над множествами

Понятие множества является одним из важнейших исходных понятий современной математики. Под множеством понимают некоторую совокупность объектов, объединенных в одно целое по некоторому признаку. Примерами множеств являются множество натуральных чисел, множество рациональных чисел и т.п. Можно говорить о множестве студентов, находящихся в данной аудитории, о множестве книг в библиотеке и т.д. Множества мы будем обозначать прописными буквами , а их элементы–малыми: . Говоря о множестве, мы считаем, что относительно всякого объекта верно одно из двух: либо этот объект входит в наше множество в качестве его элемента, либо не входит. Утверждение “элемент принадлежит множеству ” символически записывается так: ; запись означает, что не принадлежит . Если все элементы, из которых состоит множество , входят во множество , то мы называем подмножеством и пишем . Так, например, целые числа образуют подмножество множества действительных чисел.

Будем говорить, что множество равно множеству и писать , если они состоят из одних и тех же элементов.

Иногда мы не знаем, содержит ли множество, о котором мы говорим, хотя бы один элемент. Например, мы можем говорить о множестве действительных корней уравнения, не зная, разрешимо ли это уравнение над полем действительных чисел. Поэтому целесообразно ввести понятие так называемого пустого множества, т.е.множества, не содержащего ни одного элемента. Пустое множество обозначают символом .

Пусть даны два множества и Множество всех элементов, каждый из которых принадлежит по крайней мере одному из них, называется их объединением и обозначается .

Пересечением и называется множество всех элементов, каждый из которых принадлежит как , так и . Пересечение множеств и обозначается .Понятие объединения и пересечения естественно распространяются на любое семейство множеств.

Разностью множеств и называется множество всех элементов, каждый из которых входит во множество , но не входит во множество . Разность множеств и обозначается .

В каждой математической задаче рассматриваются элементы вполне определенного фиксированного множества (иногда его называют основным). Нужные множества при этом выделяются свойством таким, что каждый элемент либо обладает свойством (будем писать ), либо не обладает. С помощью свойства выделяют множество всех тех элементов из , которые свойством обладают. Это множество будем обозначать символом или .