Этапы решения задач на ЭВМ

Эффективное решение крупных естественнонаучных и народнохозяйственных задач сейчас невозможно без применения быстродействующих электронно-вычислительных машин (ЭВМ). В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построение и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом.

Пусть, например, требуется исследовать какой-то физический объект, явление, процесс. Тогда схема вычислительного эксперимента выглядит так, как показано на рисунке 1.

Такова в общих чертах схема вычислительного эксперимента. Его основу составляет триада: модель — метод (алгоритм) — программа. Опыт решения крупных задач показывает, что метод математического моделирования и вычислительный эксперимент соединяют в себе преимущества традиционных теоретических и экспериментальных методов исследования. Можно указать такие крупные области применения вычислительного эксперимента, как стпроительство, энергетика, аэрокосмическая техника, обработка данных натурного эксперимента, совершенствование технологических процессов.

Основные понятия численных методов

Методы решения математических задач делятся на 2 группы:

1. точные (прямые) и

2. итерационные (приближенные).

Точные методы позволяют найти решение в аналитическом (явном) виде, т.е. в виде некоторой зависимости Y = F(X), которая представляется совокупностью математических выражений (формул) – алгебраических, дифференциального и интегрального исчисления и др. формулы. Однако, многие задачи не имеют аналитического решения.

Итерационные (приближенные) методы - это методы построения последовательности приближений х₁, х₂,..., х _n к точному решению x*.

Переход от х _n-1 к х _n называется итерацией метода

n – номер итерации (n=0, 1, …)

x _n – n – ое приближение ( x ₀ - начальное приближение)

| x _n - x* | - погрешность n –го приближения

Итерационный процесс сходится, если с увеличением числа итераций n значения итераций х₁, х₂,.., х_n приближаются к точному решению x*.

На практике не всегда удается найти точное решение x*. Поэтому сравниваются 2 соседние итерации и итерационный процесс продолжается до тех пор, пока две соседние итерации не станут достаточно близкими, т.е. пока не выполнится условие |x_n-1 - x_n|< e

Полученная в результате вычислений последняя точка х_п называется приближённым решением задачи, найденным с погрешностью e.

Необходимо подчеркнуть, что процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, потому что на каждом этапе вносятся те или иные погрешности. Так, построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми, поскольку они неизбежны в рамках данной модели.

Обычно построение численного метода для заданной математической модели разбивается на два этапа: