Енергія пружних хвиль. Потік і густина потоку енергії хвиль

Нехай в деякому пружному середовищі в напрямі осі х поширюється плоска поздовжня хвиля

. (24)

Виділимо в цьому середовищі елементарний об’єм ΔV, настільки

малий, щоб швидкість хвилі і швидкість деформації у всіх

його точках були однакові.

Повну механічну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі, можна розрахувати за формулою

де - кінетична енергія виділеного об’єму;

- потенціальна енергія пружної деформації цього об’єму.

Кінетичну енергію, яку має виділений об’єм пружного середовища знаходимо за формулою

, (25)

де ρ - густина середовища виділеного об’єму.

Першу похідну за часом виразу (24) підставимо в (25), одержимо

(26)

де ─ хвильове число.

У відповідності з рис. 4 потенціальну енергію пружної деформації виділеного об’єму знаходимо так:

Рис. 4

(27)

де k – коефіцієнт пружності середовища, який відповідно до закону Гука (8) дорівнює ;

─ величина деформації виділеного об’єму пружного середовища.

З урахуванням цих позначень (27) матиме вигляд

. (28)

Помножимо й поділимо (28) на Δх², одержимо

(29)

В граничному випадку при Δх=0 одержуємо

(30)

Підставимо у формулу (30) значення модуля Юнга , і швидкість деформації , одержимо

(31)

Повну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі пружного середовища, одержимо при додаванні кінетичної енергії (26) і потенціальної енергії (31)

(32)

Якщо врахувати, що середнє значення квадрата синуса за час в один період дорівнює , то одержимо середнє значення повної енергії, яке буде дорівнювати

(33)

де ΔV=SΔx – елементарний об’єм пружного середовища.

Середнє значення густини енергії легко одержати, якщо (33) поділити на величину виділеного об’єму пружного середовища

. (34)

Нехай через площадку S (рис.4), яка є перпендикулярною до напрямку поширення хвилі, за час Δt переноситься енергія ΔW. Тоді вектор густини енергії буде дорівнювати

, (35)

де ─ вектор густини потоку енергії;

─ середня густина перенесеної хвилями енергії;

─ вектор швидкості, модуль якої дорівнює фазовій швидкості хвиль з напрямком поширення хвиль і відповідно перенесення енергії.

Вектор потоку енергії вперше одержав і розглянув видатний російський фізик Умов. На честь цього фізика він був названий вектором Умова.