Устойчивость при начальных отклонениях от начала равновесия динамической системы. Теорема Ляпунова

Классическое понимание устойчивости характеризует устойчивость динамической системы при начальных отклонениях от положения равновесия. Фазовое положение – устойчивое фазовое состояние характеризуется такой функциональной зависимостью , что при

Если – устойчива в большом.

– асимптотически устойчива.

Теорема Ляпунова:

Линейная динамическая система устойчива, если для ее фазовых координат можно указать такую положительно–определенную функцию Ляпунова , что ее производная будет отрицательно определена. Если производная строго отрицательна, то система асимптотически устойчива.

Дано:

Доказательство:

Функция Ляпунова представляет собой квадрат расстояния от начала координат или, в общем случае, рассматривается как некоторая норма пространства размерности n.

В этом случае производная функции Ляпунова представляет собой направление вектора движения динамической системы в каждой точке фазового пространства. В случае отрицательного значения производной функции Ляпунова вектор движения направлен в сторону положения равновесия. Это необходимо и достаточно для устойчивого движения линейной динамической системы.

Пример:

Определить, устойчивы системы или неустойчивы.

Система является неустойчивой, так как первое слагаемое строго больше нуля, а два других являются знакопеременными.

В общем случае, для линейных систем большого порядка выбор функции Ляпунова является достаточно сложным, и устойчивость исследуется другими методами.