Первообразная и неопределённый интеграл

Дана функция ; требуется найти такую функцию , производная которой была бы равна .

Определение 1. Функция называется первообразной от функции на отрезке , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство .

Так, например, для функции первообразной является функция , т.к. . Однако, легко заметить, что функции и вообще , так же являются первообразной функции , т.к.

.

Определение 2. Если функция является первообразной для , то выражение называется неопределённым интегралом от функции и обозначается символом . Таким образом, по определению,

.

подынтегральная функция,

подынтегральное выражение,

знак интеграла.

Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием функции .

Из определения 2 следует:

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если , то .

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е. .

Неопределённый интеграл обладает следующими свойствами:

1. .

2.

Таблица интегралов