Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу типа :

.

Если в этой матрице выделить произвольно столбцов и строк, то элементы, стоящие на пересечении выделенных столбцов и строк, образуют квадратную матрицу го порядка. Напомним, что определитель этой матрицы обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел и . Среди всех отличных от нуля миноров матрицы найдется, по крайней мере, один минор, порядок которого будет наибольшим.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы.

Если ранг матрицы равен , то это означает, что в матрице имеется, по крайней мере, один, отличный от нуля минор порядка , но всякий минор порядка, большего чем , равен нулю. Ранг матрицы обозначается через или .

Ранг матрицы обладает следующими свойствами:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Ранг матрицы не меняется при перестановке ее столбцов (или строк).

3. Ранг матрицы не меняется при умножении всех элементов ее столбца (или строки) на отличное от нуля число.

4. Ранг матрицы не изменится, если к одному из ее столбцов (или строк) прибавить другой столбец (соответственно строку), умножив его (ее) на некоторое число.

5. Ранг матрицы не изменится, если удалить из нее столбец, состоящий из одних нулей.

6. Ранг матрицы не изменится, если удалить из нее столбец, являющийся линейной комбинацией других столбцов.

В свойствах 5 и 6, разумеется, столбцы можно заменить строками.

Элементарными называются следующие преобразования матриц:

1) Перестановка двух любых столбцов (строк),

2) Умножение столбца (строки) на отличное от нуля число,

3) Прибавление к одному столбцу (строке) линейной комбинации других столбцов (строк).

Из свойств ранга матрицы следует, что при элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью применения конечного множества элементарных преобразований. Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например

.

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Замечание. На практике для вычисления ранга матрицы достаточно привести матрицу не к каноническому, а ступенчатому виду, например