Нормальное распределение. Случайные величины, имеющие нормальное распределение, очень часто встречаются в земледелии и животноводстве

Случайные величины, имеющие нормальное распределение, очень часто встречаются в земледелии и животноводстве, ветеринарии, инженерном деле и в других отраслях знания. Приведем примеры таких величин:

1. масса клубня картофеля;

2. масса одного зерна пшеницы некоторого сорта;

3. содержание жира в молоке, полученного от различных животных;

4. содержание кормовых единиц в суточном рационе шестимесячных телок;

5. масса животного некоторой породы на определенную дату;

6. погрешности измерений.

Для этих величин характерным является то, что на их формирование влияет большое число факторов, причем влияние каждого из них мало и ни один фактор не имеет значительного преимущества перед другими. Эти величины можно отнести к величинам, имеющим нормальный закон распределения, полагая, что их возможные значения не отрицательны.

Определение. Случайная величина X имеет нормальный закон распределения, если ее функция плотности вероятности имеет вид

(2.8.1)

где σ и а - параметры распределения.

График функции f (x) называется кривой нормального распределения. Методами дифференциального исчисления можно установить, что:

1) кривая симметрична относительно прямой х = а;

2) функция имеет максимум при х = а,

3) по мере удаления х от точки а функция убывает и при х → ±¥ кривая приближается к оси Ох;

4) кривая выпукла при и вогнута при и при . График функции f (x) имеет вид, изображенный на рис. 5.

Форма кривой изменяется с изменением параметра σ. С возрастанием σ функция f (x) убывает, кривая становится более пологой и растянутой вдоль оси Ох.

Рис. 5

Значениям случайной величины, близким к математическому ожиданию, соответствует большая плотность вероятности, т. е. малые отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания встречаются более часто, чем большие.

Параметр а есть математическое ожидание случайной величины, а σ - среднее квадратическое отклонение.

Пример 1. Известно, что случайная величина X подчинена нормальному закону распределения, М (Х) = 6, σ² = 9. Найдите функцию плотности вероятности.

Решение. Имеем а = 6, а = 3:

Пример 2. Известно, что случайная величина X подчиняется нормальному закону с функцией плотности вероятности

Найдите М (Х) и D (X).

Решение. Имеем M (X) = 15, D (X) = σ² = 10² = 100.