Минимальное кодовое расстояние

Ранее было установлено, что для того, чтобы можно было обнаруживать и исправлять ошибки, разрешен­ная комбинация должна как можно больше отличаться от запрещенной. Если ошибки в канале связи действуют независимо, то вероятность преобразования од­ной кодовой комбинации в другую будет тем меньше, чем большим числом симво­лов они различаются.

Если интерпретировать кодовые комбинации как точки в пространстве, то отличие выражается в близости этих точек, т.е. в расстоянии между ними.

Количество разрядов (символов), которыми отличаются две кодовые комби­нации, принято за кодовое расстояние между ними. Для определения этого расстояния нужно сложить две кодовые комбинации по модулю 2 и подсчитать число единиц в полученной сумме. Например, две кодовые комбинации и имеют расстояние , так как

(8.27)

Заметим, что кодовое расстояние между комбинацией и нулевой называют весом комбинации , т. е. вес равен числу «1» в ней.

Расстояние между различными комбинациями некоторого конкретного кода могут существенно отличаться. Так, в частности, в безизбыточном первичном на­туральном коде () это расстояние для различных комбинаций может изме­няться от единицы до величины , равной значности кода. Особую важность для характеристики корректирующих свойств кода имеет минимальное кодовое рас­стояние , определяемое при попарном сравнении всех кодовых комбинаций, которое называют расстоянием Хэмминга.

В безизбыточном коде все комбинации являются разрешенными, и, следо­вательно, его минимальное кодовое расстояние равно единице . Поэто­му достаточно исказить один символ, чтобы вместо переданной комбинации была принята другая разрешенная комбинация. Чтобы код обладал корректирующими свойствами, необходимо ввести в него некоторую избыточность, которая обеспе­чивала бы минимальное расстояние между любыми двумя разрешенными комби­нациями не менее двух .

Минимальное кодовое расстояние является важнейшей характеристикой помехоустойчивых кодов, указывающей на гарантируемое число обнаруживае­мых или исправляемых заданным кодом ошибок.