Фрактальная графика

Фрактальная графика — графика, описанная математическими формулами комплексных переменных. Фрактал — структура, состоящая из частей, которые подобны целой структуре. Самоподобие — особенность фрактальной графики. Понятие фракталов есть и в [D.V.M.4] дифференциальных уравнениях. Фрактал — граница области притяжения, границы могут быть самыми сложными, и не просто линиями, а канторовыми множествами.[D.V.M.5]

Если еще несколько лет назад вся графика классифицировалась на растровую и векторную, то в последнее время стала довольно-таки модной фрактальная графика. На международных научных конгрессах часто продают открытки и показывают видеофильмы, содержащие фрактальные изображения гор, воды, различных компьютерных узоров. Показывают маленький кусочек картинки, а он выглядит так же, как большая картинка.[D.V.M.6]

Существует большое число математических объектов, называемых фракталами (например, треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая Пеано, множество Мандельброта и Лоренцевы[D.V.M.7] аттракторы). Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: горы, облака, турбулентные (вихревые) течения, корни, ветви и листья деревьев, кровеносные сосуды, далеко не соответствующие простым геометрическим фигурам.

Термин "фрактал" введен Бенуа Мандельбротом в 1977 г. в его фундаментальной работе "Фракталы, Форма, Хаос и Размерность". Согласно Мандельброту, слово "фрактал" происходит от лат. fractus — дробный и frangere — ломать, что отражает суть фрактала, как "изломанного", нерегулярного множества. Мандельброт дал строгое математическое определение фрактала как множества, хаусдорфова размерность которого строго больше топологической размерности. Он, однако, так и не был удовлетворен этим определением, так как оно не включает в себя некоторые множества, рассматриваемые многими математиками, как фракталы.

Программа Frac Hunt специально предназначена для моделирования изображений фракталов. Примеры фракталов, созданные этой программой, показаны на рис. 6.5. На рисунке слева — кривая Mandelbrot, посередине — Julia Set, Day of the Tentecle, Blue Lagon, а кривая на рисунке справа рассчитывается по формуле:

Z(k – 1) = CZ(1 – Z), Polar.

Рис. 6.5. Примеры фракталов

Самоподобные и самоаффинные фракталы строят простым и быстрым алгоритмом итераций отображений подобия. Среди изображений, построенных компьютером, встречаются естественно выглядящие картины растений и деревьев.

Фракталы — это множества с дробной размерностью, так линия имеет размерность 1, круг — 2, а фрактал имеет размерность между 1 и 2.

Фрактал Мандельброта описывается формулой:

Ζ_{n + 1} = ΚΖ_n² + 1, где Κ = const.

6.2. Элементы графического изображения: экранные пикселы и пикселы печатной картинки

Изображения, воспроизводимые мониторами и принтерами, наиболее распространенных типов, состоят из множества точек. Можно создать любой символ или оттенок цвета, просто расставив точки в нужных местах. Этот метод можно использовать при создании компьютерной графики и при печати текста.

Качество выводимого, как принтерами, так и мониторами, изображения зависит от их разрешения, то есть от числа точек, отображаемых на одном дюйме. Используя матрицу с намного большим количеством квадратиков, можно улучшить форму буквы.

Пиксел

Статические растровые изображения представляют собой двумерный массив чисел. Элементы этого массива называют пикселами (от англ. pixel — picture element). Пиксел — наименьший элемент изображения, связанный с фотопередающим или записывающим устройствомприборов с зарядовой связью (ПЗС) матрицы сканера.

Пиксел — элемент изображения — минимальный адресуемый элемент двухмерного растрового изображения; одна точка изображения. Ссылка на разрешение графического адаптера обычно дается в пикселах.

Все изображения можно подразделить на две группы: с палитрой и без нее. У изображений с палитрой в пикселе хранится число — индекс в некотором одномерном векторе цветов, называемом палитрой. Чаще всего встречаются палитры из 16 и 256 цветов.

Изображения без палитры бывают в какой-либо системе цветопредставления и в градациях серого (grayscale). Для последних значение каждого пиксела интерпретируется как яркость соответствующей точки. Встречаются изображения с 2, 16 и 256 уровнями серого. Одна из интересных практических задач заключается в приведении цветного или черно-белого изображения к двум градациям яркости, например для печати на лазерном принтере. При использовании некой системы цветопредставления каждый пиксел представляет собой запись (структуру), полями которой являются компоненты цвета. Цветная матрица ПЗС сканера имеет элементы, отвечающие за свой цвет — красный (R), зеленый (G) и синий (B), поэтому самой распространенной является система RGB, в которой цвет представлен значениями интенсивности красного, зеленого и синего компонентов. Существуют и другие системы цветопредставления. Например, CMYK, Lab и т. п.