Дискретные каналы

Примером дискретного канала без памяти может служить -ичный канал. Канал передачи полностью описывается если заданы алфавит источника , ,, вероятности появления символов алфавита , скорость передачи символов , алфавит получателя , , и значения переходных вероятностей появления символа при условии передачи символа .

Первые две характеристики определяются свойствами источника сообщений, скорость – полосой пропускания непрерывного канала, входящего в состав дискретного. Объем алфавита выходных символов зависит от алгоритма работы решающей схемы; переходные вероятности находятся на основе анализа характеристик непрерывного канала.

Стационарным называется дискретный канал, в котором переходные вероятности не зависят от времени.

Дискретный канал называется каналом без памяти, если переходные вероятности не зависят от того, какие символы передавались и принимались ранее.

В качестве примера рассмотрим двоичный канал (рис. 4.6). В этом случае , т.е. на входе канала алфавит источника и алфавит получателя состоит из двух символов «0» и «1».

Алфавит входных сигналов имеет два символа х ₀ и х ₁ . Выбранный случайным образом источником сообщений, один из этих символов подаётся на вход дискретного канала. На приёме регистрируется у ₀ и y ₁. Выходной алфавит тоже имеет два символа. Символ у ₀ может быть зарегистрирован при передаче сигнала х ₀. Вероятность такого события – р (y _0½ x ₀). Символ у ₀ может быть зарегистрирован при передаче сигнала х ₁. Вероятность такого события – р (y _0½ x ₁). Символ y ₁ может быть зарегистрирован при передачи сигналов х ₀ и х ₁ с вероятностями р (y _1½ x ₀) и р (y _1½ x ₁) соответственно. Правильному приёму соответствуют события с вероятностями появления р (y _1½ x ₁) и р (y _0½ x ₀). Ошибочный прием символа происходит при появлении событий с вероятностями р (y _1½ x ₀) и р (y _0½ x ₁). Стрелки на рис. 4.6 показано, что возможные события заключаются в переходе символа х ₁ в y ₁ и х ₀ в y ₀ (это соответствует безошибочному приему), а также в переходе х ₁ в y ₀ и х ₀ в y ₁ (это соответствует ошибочному приему). Такие переходы характеризуются соответствующими вероятностями р (y _1½ x ₁), р (y _0½ x ₀), р (y _1½ x ₀), р (y _0½ x ₁), а сами вероятности называют переходными. Переходные вероятности характеризуют вероятности воспроизведения на выходе канала переданных символов.

Канал без памяти называют симметричным, если соответствующие переходные вероятности одинаковы, а именно одинаковы вероятности правильного приёма, а также одинаковы вероятности любых ошибок. То есть:

- правильный прием,

- ошибочный прием.

Для общего случая

(4.9)

Необходимо отметить, что в общем случае в дискретном канале объемы алфавитов входных и выходных символов могут не совпадать. Примером может быть канал со стиранием (рис. 4.7). На рис. 4.7 введены обозначения: - вероятность ошибочного приема, - вероятность стирания, - вероятность правильного приема. Алфавит на его выходе содержит один добавочный символ по сравнению с алфавитом на входе. Этот добавочный символ (символ стирания «?») появляется на выходе канала тогда, когда анализируемый сигнал не удается отождествить ни с одним из передаваемых символов. Стирание символов при применении соответствующего помехоустойчивого кода позволяет повысить помехоустойчивость.

Большинство реальных каналов имеют «память», которая проявляется в том, что вероятность ошибки в очередном символе зависит от того, какие символы передавались до него и как они были приняты. Первый факт обусловлен межсимвольными искажениями, являющимися результатом рассеяния сигнала в канале, а второй – изменением отношения сигнал-шум в канале или характера помех.

В постоянном симметричном канале без памяти условная вероятность ошибочного приема ()-го, символа если -й символ принят ошибочно, равна безусловной вероятности ошибки. В канале с памятью она может быть больше или меньше этой величины.

Наиболее простой моделью двоичного канала с памятью является марковская модель, которая задается матрицей переходных вероятностей:

,

где – условная вероятность того, что принят ()-й символ ошибочно, если -й принят правильно; 1- – условная вероятность того, что принят ()-й символ правильно, если -й принят правильно; – условная вероятность того, что принят ()-й символ ошибочно, если -й принят ошибочно; 1- – условная вероятность того, что принят ()-й символ правильно, если -й принят ошибочно.

Безусловная (средняя) вероятность ошибки в рассматриваемом канале должна удовлетворять уравнению:

,

или

.

Данная модель имеет достоинство – простоту использования, не всегда адекватно воспроизводит свойства реальных каналов. Большую точность позволяет получить модель Гильберта для дискретного канала с памятью. В такой модели канал может находиться в двух состояниях и . В состоянии ошибок не происходит; в состоянии ошибки возникают независимо с вероятностью . Также считаются известными вероятности перехода из состояния в и вероятности перехода из состояния в состояние . В этом случае простую марковскую цепь образует не последовательность ошибок, а последовательность переходов:

.

При этом достаточно легко выразить безусловные вероятности нахождения канала в состояниях и :

,

.

Безусловная вероятность ошибки в этом случае может быть определена по формуле:

.

Наиболее часто при использовании модели Гильберта для двоичного канала полагают , т.е. состояние рассматривается как полный обрыв канала связи. Это согласуется с представлением о канале, в котором действуют коммутационные помехи.

Возможен другой подход к построению математических моделей каналов, при котором вся предыстория до некоторого фиксированного момента времени заменяется заданием некоторого начального состояния цепи. Зная характеристики цепи, начальное состояние и сигнал, действующий только на промежутке от до , можно определить сигнал на выходе и новое состояние цепи в любой момент времени .

Состоянием цепи называется минимальное множество величин, в которое входит элементов, однозначно определяющих поведение цепи в момент времени . Элементы этого множества называют переменными состояния, которые обычно рассматривают как составляющие компоненты -мерного вектора. Для любой цепи можно записать два уравнения, позволяющих по состоянию в момент и сигналу, поступающему на вход, найти выходной сигнал и состояние в момент . Эти матричные уравнения называют уравнением состояния и уравнением наблюдения.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Что такое непрерывный канал связи?

2. Что такое дискретный канал связи?

3. Что такое канал передачи данных?