Ортогональных проекций теней точек и отрезков прямых линий

13.2.1. Свойства проекций теней точек, падающих на плоскости проекций.

ПРАВИЛО 5. Тенью, падающей от точки в пространстве на плоскость проекций, является соответствую-щий след (горизонтальный или фрон-тальный) светового луча, проходяще-го через эту точку. (рис. 13.6, а,б).

Так как плоскостей проекций две, то и соответствующих следов светово-го луча тоже два.

Определение 13.4. След луча на той плоскости проекций, к которой освещаемая точка б л и ж е, называ-ется её д е й с т в и т е л ь н о й па-дающей тенью (см. рис. 13.6, а,б).

ПРАВИЛО 6. Конструктивно дей-ствительной падающей тенью А_t от точки А на ближнюю к ней плоскость

проекций является вершина второго острого угла равнобедренного прямо-угольного треугольника, равные ка-теты которого метрически равны расстоянию точки А до той плоско-сти проекций, на которую падает эта действительная тень.

Это правило позволяет строить действительную тень точки только по одной её проекции, но при условии, что известно расстояние от неё до той пло-скости проекций, на которую падает эта тень (рис.14.7, а, б).

ПРАВИЛО 7. Для того, чтобы по-строить действительную тень точ-ки А по одной её проекции, достаточ-но представить соответствующую проекция светового луча как гипоте-нузу равнобедренного прямоугольного треугольника, вертикально располо-женный катет которого метрически равен расстоянию от этой точки до той плоскости проекций, на которую падает эта тень.

Определение 13.3. След луча на неосвещённой плоскости проекций на-зывается м н и м о й тенью той точки, через которую проходит этот луч ( рис. 13.8, а,б)

а б

Рис13.9. Построение мнимой тени

точки А по её действительной тени

а б

Рис.13.10. Ортогонально-дважды

косоугольные проекции точки А

Конструктивно действительная и мнимая тени точки А равноудалены от оси х₁₂ , а значит, расположены на од-

ной горизонтальной прямой.

ПРАВИЛО 8. Для того, чтобы по действительной тени А¢_t построить её мнимую тень (А¢_t) необходимо че-рез А_t провести горизонтальную пря-мую до пересечения с продолжением той проекции луча, на которой н е

р а с п о л а г а е т с я действитель-ная тень (рис.13.9, а, б).

Из рис.13.9 видно, что длина этой горизонтальной прямой метрически ра-вна расстоянию от действительной тени точки до той плоскости проекций, на которую падает мнимая тень. Это даёт возможность строить мнимую тень точки по её данной действительной только на одной плоскости проекций

(рис.13.10, а, б).

ПРАВИЛО 9. Для того, чтобы по-строить мнимую тень точки по дан-ной действительной, достаточно че-рез последнюю провести горизонта-льную прямую и отложить на ней рас-стояние, метрически равное расстоя-нию от действительной тени до той плоскости проекций, на которую пада-ет мнимая тень.

Метрическое содержание рис.13.10 показывает, что представленные на нём изображения являются ортогона-льно-дважды косоугольными комплекс-ными чертежами точки А, обладающи-ми свойством обратимости.

Если расстояния от точки А до пло-скостей проекций неизвестно, то их можно задавать, придавая длинам на-клонных и горизонтальных звеньев ло-маной А₂ (А₁) –А_2t (A_1t) – (A_1t, A_2t) произ-вольные или наперёд заданные значе-ния, конкретизирующие положение точ-ки А в пространстве.

13.2.2. Свойства проекций теней

прямых линий и их отрезков

Прямая линия в пространстве зада-ётся двумя нетождественными точка-ми, а тенью, падающей от неё на одну плоскость, является прямая линия (см. ПРАВИЛО 2, рис.13.2). Отсюда следу-ет, что для построения тени прямой ли-нии, падающей на плоскость, достато-чно построить тени от двух её нетож-дественных точек (см. ПРАВИЛА 1 и 5) и соединить их между собой под ли-нейку.

Прямая линия и её прямолинейная тень на плоскости, - это две комп-ланарные прямые, принадлежащие од-ной лучевой плоскости. Такие прямые могут совпадать, быть параллельными и пересекаться. Каждый из этих случа-ев содержит в себе информацию о по-ложении освещаемой прямой по отно-шению к плоскости её падающей тени:

1. Если прямая b совпадает со своей падающей тенью, то она принад-лежит плоскости a, на которую эта тень падает:

b º b_ta Þ b Î a;

2. Если прямая с параллельна своей падающей тени, то она парал-лельна плоскости a, на которую эта тень падает:

с || с_ta Þ с || a;

3. Если прямая а не параллельна своей падающей тени, то она её пере-секает в точке К её встречи с плоскос-тью, на которую падает от неё тень:

а ∦ а_t Þ а ´ а_t = (K º K_t) = a ´ a;

Точка К является двойной, так как она принадлежит и прямой а и её тени а_t на плоскости a.

ПРАВИЛО 10. Если прямая а не па-раллельна плоскости a, то тень а_t, падающая от неё на эту плоскость, проходит через точку их встречи:

а ∦ a Þ а_t É К = а ´ a.

Другими словами, тень, падающая от прямой линии на плоскость, стре-мится в точку их пересечения незави-симо от того, где эта точка нахо-дится, - на конечном расстоянии или в бесконечности (в пределах чертежа или за его пределами).

Плоскости, на которые падает тень от прямой линии, могут быть плоскостя-ми проекций П₁ и П₂ или плоскостями уровня, а также проецирующими и об-щего положения.

Рис. 13.11. Таблица ортогональных проекций теней, падающих на плоскости проекций от линий уровня и проецирующих прямых

Свойства проекций теней

прямых линий, падающих на

плоскости проекций

1. Тени линий уровня и проецирующих прямых (рис.13.11)

Анализ таблицы рис.13.11:

1.1. а || П₁ Þ а_1t # a₁ (a);

2.1. a || П₂ Þ а_2t # а₂ (а).

ПРАВИЛО 11. Если прямая паралле-льна одной из плоскостей проекций, то тень, падающая от этой прямой на эту плоскость, позиционно ей параллельна, а метрически равна.

1.2. а ∦ П₂ Þ а_2t É (K₂ º K º K_2t) = a ´ П₂;

2.2. а ∦ П₁ Þ а_1t É (K₁ º K º K_1t) = a ´ П₁.

Эти случаи описаны ПРАВИЛОМ 10. 1.3. а || П₁ Ù∦ П₂ Þ а_1t || a₁ Ù a_2t

É (K_2t º K) = a ´ П₂ ∦ П₁

2.3. а || П₂ Þ а_2t || а₂

Ù а_1t É (K_1t º K) = a ´ П₁;

а_1t ´ a_2tt = [ (C_1t º C_2t ) Î x₁₂ ].

ПРАВИЛО 12. Если прямая а парал-лельна одной плоскости проекций и не параллельна другой, то на ней суще-ствует единственная точка С, кото-рая отбрасывает тень (С_1t º C_2t) на

ось х₁₂, являющуюся точкой излома

всей тени, падающей от прямой на

пересекающиеся плоскости проекций.

Обобщая ПРАВИЛО 12, можно сфор-

мулировать

ПРАВИЛО 13. Если прямая отбра-сывает тень на пересекающиеся пло-скости или поверхности, то она изла-

мывается на линии их пересечения.

3.1. а ^ П₁ Þ а_1t º l₁;

4.2. a ^ П₂ Þ а_2t º l₂.

ПРАВИЛО 14. Если прямая перпен-

дикулярна к плоскости проекций, то

Рис.13.12. Таблица проекций теней

линий уровня, одна из проекций которых параллельна той или иной проекции светового луча

падающая от неё тень совпадает с

проекцией светового луча на эту

плоскость

3.3. а ^ П₁ Þ а_1t º l₁ Ù a_2t || a₂ ;

4.3. a ^ П₂ Þ а_2t º l₂ Ù a_1t || a₁.

Эти случаи описаны ПРАВИЛОМ 13.

В практике архитектурного и дизай-нерского проектирования встречаются линии уровня, ортогональные проекции

которых занимают те или иные частные положенияпо отношению к соответству-

ющим проекциям светового луча (см.

таблицу рис. 13.12).

Анализ таблицы рис.13.12:

1.1. а₁ || l₁ Þ a_2t ^ a₂;

2.2. a₁ ^ l₂ Þ a_2t ^ a₂.

ПРАВИЛО 15. Если горизонтальная проекция а₁ прямой а параллельна го-ризонтальной l₁ или перпендикулярна фронтальной проекции l₂ светового

луча l, то фронтальная проекция а_2t тени, - прямая, совпадающая с верти-кальной линией связи.

1.2. а₁ || l₂ Þ a_2t имеет уклон 1: 2;

2.1. а₁ ^ l₁ Þ a_2t имеет уклон 1: 2.

Рис. 13.13. Зависимость величин уклонов падающих на П₂ теней от

величин уклонов к П₂ горизонтальных прямых

Рис.13.14. Случаи, когда тенью прямой являются точки

ПРАВИЛО 16. Если горизонталь-ная а₁ проекция прямой а перпендику-лярна к горизонтальной l₁ и паралле-лельна фронтальной l₂ проекциям све-тового луча l, то фронтальная проек-ция а_2t тени, - наклонная прямая с ук--

лоном 1: 2.

3.1. а₂ || l₁ Þ a_1t имеет уклон 1: 2;

4.2. а₂ ^ l ₁ Þ a_1t имеет уклон 1: 2.

ПРАВИЛО 17. Если фронтальная а₂ проекция прямой а параллельна гори-зонтальной l₁ или перпендикулярна к фронтальной l₂ проекции светового луча l, то горизонтальная проекция а_1t тени – наклонная прямая с уклоном 1:2

3.2. а₂ || l₂ Þ a_1t ^ a₁;

4.1. a₂ || l₂ Þ a_1t ^ a_1.

ПРАВИЛО 18. Если фронтальная а₂ проекция прямой а параллельна фрон-тальной l₂ или перпендикулярна гори-зонтальной l₁ проекции светового лу-ча l, то горизонтальная проекция а_1t тени, - прямая, совпадающая с верти-кальной линией связи.

Ситуации, описанные в правилах 15 и 18 характерны тем, что линии уро-вня а, наклонённые к непараллельным по отношению к ним плоскостям про-екций под углом 45°, оказываются при-надлежащими к дважды проецирую-щим плоскостям как по направлению ортогонального проецирования, так и по направлению косоугольного проеци-рования световыми лучами.

Ситуация, описанная правилами 16 и 17, характерна особенностями мет-рики уклонов проекций а₁ и а₂ прямой а и её теней а_2t и a_1t. Здесь уклон 1: 1 проекции прямой а переходит в уклон 1: 2 её соответствующих падающих те-ней. Если проекциям а₁, а₂ придать ук-лон 1: 2, то уклоны соответствующих падающих теней будет 1: 3 и т.д. (рис. 13.13, а,б).

ПРАВИЛО 19. Уклон тени, падаю-щей на ту или иную плоскость проек-

ций от линии уровня, которая ей не параллельна, а наклонная проекция ко-торой перпендикулярна к соответст-вующей проекции луча, имеет после-довательно меньшее значение, чем

значение уклона самой прямой по от-

ношению к этим плоскостям проек-

ций.

Другими словами, уклоны прямой

1: 1, 1: 2; 1: 3 и т.д. соответственно пе-реходят в уклоны тени 1: 2, 1: 3, 1: 4, и т.д. (рис.13.13, а)

Это правило справедливо для ли-ний уровня, исходные наклонные про-екции которых соответственно перпен-дикулярны к одноименным проекциям луча.

Если исходные наклонные проек-ции линий уровня соответственно па-раллельны одноименным проекциям луча, то характер изменения уклонов их теней в зависимости от изменения их уклонов обратен описанному в ПРАВИ-

ЛЕ 19 (рис.13.13, б).

ПРАВИЛ0 20. Уклон тени, падаю-щей на ту или иную плоскость про-екций от линии уровня, которая ей не параллельна, а наклонная проекция ко-торой параллельна одноименной про-екции луча, имеет последовательно большее значение, чем значение укло-на самой прямой по отношению к этим плоскостям проекций.

Другими словами, уклоны прямой 1: 2, 1: 3, 1: 4 и т.д. переходят в уклоны их тени 1: 1, 1: 2, 1: 3 и т.д.

К числу следующих вариантов расположения проекций прямой а по отношению к проекциям луча относятся случаи сочетания параллельного и пер-пендикулярного положения либо обеих проекций этой прямой, либо каждой из них в отдельности (рис.13.14 -13.17).

ПРАВИЛО 21.. Если проекции а₁, а₂ прямой а соответственно параллель-ны одноименным проекциям светового луча, то направление этой прямой в пространстве совпадает с направле-ниием светового луча l и поэтому её тенью является точка а_t как её со-ответствующий след (рис.13.14).

а₁ || l₁ Ù а₂ || l₂ Þ а_1t (a_2t) – точка.

ПРАВИЛО 22. Если проекции а₁, а₂ прямой а соответственно перпенди-

кулярны к одноименным проекциям светового луча, то тенью а_t, падаю-

щей от этой прямой на ближнюю к

Рис13.15. Случаи, когда тени, падающие на плоскости проекций, горизонтальные прямые линии

Рис.13.16. Тени прямой общего

положения, проекции которой симметричны оси х₁₂.

ней плоскость проекций будет гори-

зонтальная прямая (рис. 13.15, а,б).

а₁ ^ l₁ Ù a₂ ^ l₂ Þ a _t || x₁₂;

ПРАВИЛО 23. Если проекции а₁, а₂ прямой а симметричны относительно оси проекций х₁₂, то тень от неё па-дает на эту ось независимо от зна-чения углов между этой осью и этими проекциями (рис.13.15, а, б).

А₁А₁₂ = А₁₂А₂ Ù В₁В₁₂ = В₁₂В₂ Þ А_1t B_1t º x₁₂.

Известно, что прямые линии, раз-ноименные проекции которых состав-ляют одинаковые углы с осью х₁₂ или с вертикальной линией связи, наклонены к соответствующим плоскостям проек-ций под одинаковыми углами. Поэтому их называют равнонаклонёнными.

Все прямые, разноименные проек-ции которых симметричны относитель-но оси х₁₂, являются равнонаклонён-ными, но не все равнонаклонённые прямые имеют проекции, симметрич-ные относительно оси х₁₂. К числу тако-вых относятся прямые, разноименные проекции которых параллельны друг другу, а по отношению к соответству-ющим проекциям светового луча зани-мают соответственно параллельное и перпендикулярное положение (рис13.

16, а, б, 13.17).

Рис.13.17. Тени прямой общего положения,

проекции которой соответственно параллельны и перпендикулярны к проекциям светового луча

ПРАВИЛО 24 Если одна из проекций прямой линии параллельна одноимен-

ной проекции луча, а вторая перпен-

дикулярна, то проекция тени на одной плоскости проекций совпадает с про-екцией прямой, параллельной проек-ции луча, а на второй плоскости про-екций,- совпадает с вертикальной ли-нией связи.

Если изображаемая прямая а зани-мает положение профильной линии

уровня, то её горизонтальная и фронта-льная проекции расположены к соот-ветствующим проекциям луча под 45°.

Это тоже частный случай их рас-положения, но, поскольку такая прямая параллельна П₃, то ситуацию следует рассматривать на трёхкартинном комп-лексном чертеже (рис.13.18, а,б)

Рис.13.18. Тени равнонаклонённых к П₁ и П₂ профильных линий уровня

ПРАВИЛО 25. Если профильная про-екция а₃ профильной прямой а парал-лельна профильной проекции l₃ луча l, то её тенью является горизонталь-ная прямая а_t, перпендикулярная к той его проекции, которая непосредствен-но содержит свой действительный след В.

ПРАВИЛО 26. Если профильная проекция отрезка АВ профильной пря-мой а перпендикулярна к профильной проекции l₃ луча l, то тенью такого отрезка является наклонный отрезок, начинающийся в соответствующем

действительном следе прямой а и имеющий уклон 2: 1 (рис.13.19).

ПРАВИЛО 27. Если профильная пря-мая а равнонаклонена к плоскостям

Рис. 13.19. Тени равнонаклонённой к П₁ и П₂ профильной прямой а, заданной следами А и В.

Рис. 13. 20. Проекции тени прямой общего положения, заданной следами

а б

Рис. 13.21. Проекции теней прямых

общего положения с одним

заданным следом

проекций П₁ и П₂ и задана своими сле-

дами А и В, то тени а_1t и a_2t будут равнонаклонены к оси х₁₂, а точкой

С_12t их излома будет тень на ось х₁₂ от середины С отрезка АВ прямой а (рис.13.19).

Свойства проекций теней отрезков прямых общего положения

Прямые общего положения не па-раллельны и не перпендикулярны ни к одной из плоскостей проекций, а это значит, что они с ними пересекаются в собственных следах, которые совпада-ют со своими тенями на эти плоскости

(рис. 13.20).

ПРАВИЛО 28. Для построения про-екций тени, падающей от прямой а общего положения, заданной её следа-ми, на плоскости П₁ и П₂, необходимо и достаточно построить мнимую тень любого следа, которая в паре с од-ноименным действительным следом-тенью определит тень на их плоско-сти проекций, пересекающую ось х₁₂ в точке излома искомой тени, второе звено которой соединяет эту точку с тем следом прямой, для которого строилась мнимая тень.

Если один конец отрезка АВ пря-мой а общего положения принадлежит одной из плоскостей проекций, то он совпадает со своей тенью на эту пло-скость. Для построения полной тени от всего отрезка достаточно построить

Рис. 13. 22. Проекции тени от отрезка прямой общего положения на плоскости проекций

второй его след и действительную тень от второго конца или мнимую тень от первого следа (рис.13. 21, а, б).

Если отрезок АВ прямой а общего положения не имеет по условию общих точек с плоскостями проекций, то для построения проекций его тени на эти плоскости их необходимо построить, дополнив построением действительной тени одного из его концов.

Эти построения понятны из рис 13. 22.

Свойства проекций теней, падающих от прямых различного положения на плоскости уровня.

Так как плоскости уровня паралле-льны плоскостям проекций, а послед-ние, в свою очередь, являются нулевы-ми плоскостями уровня, то геометрия проекций теней на плоскостях уровня ничем не отличается от выше рассмо-тренной геометрии проекций теней на плоскостях проекций (см. таблицы рис. 13.11 и 13.12).

13.2.4. Изобразительные особенности проекций теней от прямых линий на отдельных архитектурных фрагментах

Рис. 13.23. Иллюстрация правил 29 и 30

ПРАВИЛО 29. Проекция тени на плане от горизонтально-проецирую-щей прямой есть прямая линия, совпа-дающая с горизонтальной проекцией луча независимо от формы поверхнос-ти, на которую падает тень.

ПРАВИЛО 30. Фронтальная проек-ция тени на фасаде гранной поверх-ности от горизонтально-проецирую-щей прямой совпадает с фронталь-

ной проекцией фигуры сечения этой

Рис. 13.24. Иллюстрация правила 31

Рис13.25. Иллюстрация правила 32

Рис13. 26. Иллюстрация правила 33

поверхности горизонтально-проеци-рующей лучевой плоскостью (рис.13. 23).

ПРАВИЛО 31. Проекция тени на фасаде горизонтально-проецирующей поверхности от профильно-проеци-рующей прямой зеркально повторяет план этой поверхности (рис. 13. 24).

ПРАВИЛО 32. Проекция тени на фасаде профильно-проецирующей по-верхности от горизонтально-проеци-рующей прямой повторяет профиль этой поверхности (рис.13. 25).

ПРАВИЛО 33. Проекции теней, па-дающих от прямой линии на паралле-льные плоскости, между собою па-раллельны (рис.13.26).

Если прямые общего положения отбра-сывают тень на плоскости общего поло-жения, то графическое построение про-екций этих теней сводится к решению позиционной задачи на взаимное пере-сечение лучевой плоскости общего по-ложения с заданными по условию про-извольно расположенными в простран-стве плоскостями (см.рис.10.13 - 10.16).