Теоретические сведения. Точечные оценки параметров распределения

Точечные оценки параметров распределения.

Пусть дана выборка малого объема п и x_i – значения случайного признака Х в выборке. Тогда точечные оценки параметров распределения вычисляются по формулам:

• выборочная средняя (1)
• исправленная выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение (2)
• выборочная асимметрия (3) и эксцесс (3а)
• выборочный коэффициент вариации (4)

Ниже приведен пример вычисления выборочной средней и дисперсии случайного признака при объеме выборки п =9.

Для выборки большого объема, заданной в виде случайного вектора х с п координатами x_i, точечные оценки определяются через начальные моменты распределения:

. (5)

С учетом введенных обозначений

• выборочная средняя ;
• выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение ;
• выборочная асимметрия и эксцесс ;
• выборочный коэффициент вариации .

Чтобы вычислить моду и медиану распределения, необходимо составить вариационный ряд. Для этого требуется:

а) найти min (x) и шах(х), вычислить размах вариации R = шах(х) – min (x) и, округлив R в сторону увеличения, определить число разрядов вариационного ряда k = 5∙1g(п) и шаг ряда h = R/k. Количество разрядов (интервалов) вариационного ряда обычно берут от 8 до 16, причем так, чтобы шаг ряда по возможности был целым числом (или дробным, но удобным для нахождения середины интервала);

б) выбрать левую границу первого интервала х ⁽⁰⁾ ≤ min(x) и составить интервалы вариационного ряда; для этого надо ввести новый индекс j:= 1 ..k + 1 и оператор

(6)

При этом последняя k -я граница х ^(k) должна быть чуть больше или равна шах(х).

в) определить частоту т_i признака Х для каждого i -гo интервала; для этого с помощью функции hist(int,x) составить вектор частот. Аргументы: int – вектор, содержащий границы интервалов в порядке их возрастания; x – множество значений некоторой величины, которые распределяются по интервалам, заданным в векторе int. Функция hist возвращает вектор, содержащий в качестве элементов количество точек из x, попавших в соответствующий интервал из int:

m:=hist(int, x); (7)

г) составить дискретный ряд; с этой целью ввести новую переменную 1:= 1.. k и вычислить дискретные значения признака

. (8)

Интервальные оценки параметров распределения.

Если известно, что случайный признак в генеральной совокупности распределен по нормальному закону N (a, σ), то при малом объеме выборки для интервальной оценки генеральной средней используется стандартное t -распределение Стьюдента, а для интервальной оценки генеральной дисперсии – χ ²-распределение.

При заданной доверительной вероятности α=0.95 и числе степеней свободы ν = n –1 из таблицы распределения Стьюдента находят соответствующее значение t _α и составляют доверительный интервал для генеральной средней:

(9)

При той же доверительной вероятности α и числе степеней свободы ν из таблицы χ ²-распределения находят значения для p ₁=0.5(1– α), p ₂=0.5(1+ α) соответственно и вычисляют границы доверительного интервала для генеральной дисперсии:

(10)

В том случае, когда объем выборки достаточно велик, выборочная средняя распределена асимптотически нормально, и интервальная оценка генеральной средней выглядит аналогично формуле (9), но величину t находят из таблицы интегральной функции Лапласа:

, (11)

где .