Следствия из теоремы

1. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

P(A∙B) = P(A) ∙ P(B)

2. Если А и В независимы, то независимы и пары: (; ), (; В), (А; ).

Примеры задач на теорему умножения:

1. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.

Ответ: 0,156.

2. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.

Ответ: 0,02.

3. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025.
Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

Формула полной вероятности

Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности:

Вероятность P(А) события А, которое может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) В₁, В₂, В₃ … В_n, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий (гипотез) В₁, В₂, В₃, …, В_n на соответствующие условные вероятности события А:

P(А) = Р(В₁)×P(A|B₁) + Р(В₂)×P(A|B₂) + Р(В₃)×P(A|B₃) + … + Р(В_n)×P(A|B_n)