Оптичні властивості ліній другого порядку

До числа найбільш цікавих властивостей еліпса, гіперболи та параболи відносяться їхні так звані оптичні властивості. Вони фактично обґрунтовують фізичне походження назви “фокуси”. Сформулюємо та доведемо ці властивості.

Оптична властивість еліпса. Промені світла, які виходять із фокуса дзеркального еліпса та відбиваються від нього, проходять через другий фокус.

Оптична властивість гіперболи. Промені світла, які виходять із фокуса дзеркальної гіперболи та відбиваються від неї, поширюються по прямих, що проходять через другий фокус.

Оптична властивість параболи. Промені світла, які виходять із фокуса дзеркальної параболи та відбиваються від неї, поширюються по променях, які паралельні до осі параболи.

Для доведення цих властивостей достатньо довести, що дотична, проведена у довільній точці , що належить лінії, утворює однакові кути із фокальними радіусами у випадку еліпса та гіперболи, а у випадку параболи – однакові кути з фокальним радіусом та віссю параболи (рис. 9 та рис. 10).

Спочатку доведемо оптичну властивість еліпса. Нехай дана лінія задана канонічним рівнянням , а також - довільна точка на еліпсі. Рівняння дотичної, проведеної в точці , як ми знаємо, запишеться у виді . Фокуси еліпса будуть розташовані у точках та . Нехай вектор , який перпендикулярний до дотичної, утворює із векторами та відповідно кути та . Тоді

.

Аналогічно,

.

Зауважимо, що при виконанні перетворень попередніх виразів було використано відомі нам вирази для фокальних радіусів еліпса, а саме:

, .

Оскільки . то , що доводить оптичну властивість еліпса.

Доведення оптичної властивості гіперболи виконується аналогічно.

Розглянемо доведення оптичної властивості параболи. Нехай – рівняння параболи, точка – фокус, – точка на параболі. Тоді рівняння дотичної у точці запишеться у виді . Для доведення того, що дотична утворює однакові кути із фокальним радіусом та віссю , покажемо, що вектор нормалі дотичної утворює однакові кути з вектором та вектором , який паралельний до осі (рис. 10). Нехай утворює кут з вектором та кут з вектором . Тоді

,

,

отже, , звідки . Одержаний результат доводить оптичну властивість параболи.