Пучок прямих

Множину всіх прямих площини, які проходять через спільну точку, називають пучком прямих з центром у цій точці.

Очевидно, що пучок прямих можна задати, вказавши центр пучка, або задавши центр пучка, як точку перетину двох прямих.

Рівняння

, (1)

де та – довільні коефіцієнти, які одночасно не дорівнюють нулю, а – фіксовані, задає рівняння пучка з центром у точці . Справді, якщо та одночасно не рівні нулю, то дане співвідношення є рівнянням першого степеня, тобто задає пряму, яка, очевидно, проходить через точку . Напрям прямої визначається коефіцієнтами та і може бути довільним. Іноді крім рівняння (1), яке містить два змінні параметри та , розглядають рівняння пучка з одним параметром у вигляді

, (2)

або

. (3)

Зауважимо, що у цьому випадку пучок (2) не містить однієї з усіх прямих пучка (1), а саме прямої , а з пучка (3) не можна одержати пряму (в пучку (1) пряму отримуємо при , а пряму – при ).

Нехай центр пучка заданий перетином двох прямих

, (4)

причому . Тоді рівняння пучка можна задати, не розв’язуючи системи (4), тобто не знаходячи центра пучка. Справді, розглянемо рівняння

, (5)

де та – змінні параметри, які одночасно не дорівнюють нулю. Якщо – розв’язок системи (4), то він є розв’язком рівняння (5), оскільки кожен із двох доданків у даній точці перетворюється в нуль. Щоб показати, що рівняння (5) є рівнянням першого степеня, тобто є рівнянням прямої, потрібно переконатись, що коефіцієнти біля змінних та одночасно не можуть перетворюватися в 0.

Доведемо це методом від супротивного. Нехай та , а також . Тоді , що суперечить умові про існування єдиного розв'язку системи (4) (при з умови випливало б, що , що приводять до суперечності). Те, що пряма (5) може мати довільний напрям, тобто бути паралельною до довільного вектора , випливає з того, що система

має єдиний розв’язок (нагадаємо, що вектор є напрямним для прямої (5)). Іноді рівняння пучка (5) записують, користуючись лише одним змінним параметром у вигляді

(6)

або

. (7)

Певним недоліком таких записів є те, що з пучка (7) не можна отримати пряму , а із пучка (6) – пряму . При розв’язуванні задач із застосуванням рівнянь (6) або (7) такі прямі потрібно розглядати окремо.