Формула обращения

Преобразование обратное по отношению к дискретному преобразованию Лапласа определяет решетчатую функцию по заданному изображению и определяется формулой

(11.14)

где С > .

Вычисление оригиналов можно производить и по формуле обращения Z – преобразования, которая может быть получена из формулы (11.14) путем замены переменной .

(11.15)

Интегрирование производится по окружности С радиуса , где С> в положительном направлении. Функция, стоящая под интегралом - аналитическая вне окружности С и на самой окружности. Применяя теорему о вычетах получим:

, (11.16)

где - полюс функции , лежащий внутри окружности С.

Иногда оказывается более удобным определять вычеты, не переходя к Z – преобразованию. Тогда формула (11.16) принимает вид

(11.17)

Пример.

Найти оригинал , соответствующий изображению

.

Решение. Выполним замену переменной

, , где .

Образуем функцию

.

Находим вычет в точке - это двукратный полюс

Таким образом,

.

Свойства дискретного преобразования Лапласа.

Дискретное преобразование Лапласа устанавливает соответствие между решетчатыми функциями – оригиналами и их изображениями . Различным операциям, совершаемыми над решетчатыми функциями, соответствуют при этом определенные операции, совершаемые над их изображениями.