Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
3.2.1. Решить линейную систему
(3.6)
Решение 1 (По формулам Крамера).
◄ Линейная система (3.6) – квадратная: число уравнений равно числу неизвестных – трем. Определитель основной матрицы (из коэффициентов при неизвестных)
то есть система невырожденная, и можно применять формулы Крамера (3.3). Составим и вычислим определители , , заменив в -й столбец на столбец свободных членов:
, , .
По формулам Крамера (3.3) , , .►
Решение 2 (Матричным методом – с помощью обратной матрицы).
◄ Линейную систему (3.6) можно записать в виде одного матричного уравнения , где – основная матрица системы, – матрица-столбец из неизвестных , – матрица-столбец из свободных членов. Матрица, обратная к , была вычислена в примере 2.2.5. Решение системы находим по формуле (3.2):
,
то есть .►
Решение 3 (Методом Гаусса).
◄ Прямой ход метода:
Шаг 1. Ко второму уравнению прибавляем первое, умноженное на (), к третьему прибавляем первое, умноженное на ().
Шаг 2. К третьему уравнению прибавляем первое, умноженное на ().
Обратный ход метода: Начиная с последнего уравнения, последовательно находим :
Замечание. Разумно упростить процедуру, выписывая только матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов (расширенную матрицу системы):
На последнем шаге прямого хода мы для наглядности все-таки вернулись к подробной записи системы. ►
3.2.2. Решить линейную систему
◄ Решаем методом Гаусса. Прямой ход метода:
Шаг 1. Первое уравнение заменим на разность между вторым и первым. Цель – получить 1 в качестве коэффициента при в первом уравнении.
Шаг 2. Ко второму уравнению прибавляем первое, умноженное на (–3), к третьему прибавляем первое, умноженное на (–5), к четвертому прибавляем первое, умноженное на (–7).
Шаг 3. К третьему уравнению прибавляем второе, умноженное на (), к четвертому прибавляем второе, умноженное на (–3).
Шаг 4. Отбрасываем нулевые уравнения.
Обратный ход метода: Неизвестным и можно придать произвольные значения: , . Тогда
, .
Таким образом, все решения (общее решение) системы задаются формулами , , , , где и – произвольные числа. Меняя и , мы получим любое решение. ►
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 251 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!