ЛЕКЦИЯ 3. Существуют сложные системы, которые невозможно интерпретировать в виде набора элементов с последовательным или параллельным соединением.

РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Существуют сложные системы, которые невозможно интерпретировать в виде набора элементов с последовательным или параллельным соединением.

На рис.1, а показана система, которая нормально функционирует только в том случае, если в работоспособном состоянии находятся два любых ее элемента. Отказ системы наступает, когда отказывают два или три элемента. Такие системы обычно именуют системами «2 из 3-х».

а) б)

Рис. 1. Системы « из »

На рис.1, б представлена система, которая нормально функционирует, если в работоспособном состоянии находятся 2 из 4 или 3 из 4 элементов. В общем виде такие системы называют системами « из » элементов.

На рис.2 представлена так называемая «мостиковая» система. Система откажет, если откажут элементы 1 и 2 или 4 и 5. Если откажут элементы 2 и 4, то процесс пойдет по пути 1, 3, 5. Если откажут элементы 1 и 5, то процесс пойдет по пути 2, 3, 4. Если откажут элементы 1, 3, 5 или 2, 3, 4, то проведение процесса невозможно.

Рис. 2. «Мостиковая» система

На рис. 3 представлена система разветвляющегося типа. Эта система перестает функционировать в тех случаях, если отказали, например, элементы 2 и 3; 2, 6 и 7 и т.д.

Рис. 3. Система разветвляющегося типа

Остановимся более подробно на анализе надежности системы «2 из 3-х», представленной на рис.1, а.

В теории надежности существуют следующие методы расчета надежности сложных технических систем:

1) метод прямого перебора всех возможных состояний элементов;

2) комбинаторно-аналитический метод;

3) метод минимальных путей;

4) метод минимальных сечений.

Рассмотрим подробнее все эти методы.

Метод прямого перебора всех возможных состояний элементов, т.е. работоспособного и неработоспособного.

Основная идея этой методики заключается в том, что множество всех возможных состояний элементов разбивают на два подмножества: подмножество работоспособных состояний и подмножество неработоспособных состояний. Затем вычисляют вероятности всех возможных работоспособных состояний (или неработоспособных, смотря, каких состояний меньше, чтобы уменьшить объем вычислительных работ) и складывают их. Сумма всех этих вероятностей и будет вероятностью работоспособного состояния системы (числовым показателем надежности, например, вероятности безотказной работы системы).

Пусть вероятности безотказной работы всех элементов системы будут одинаковыми, обозначим их буквой . Тогда вероятность отказа будет

(1)

Известно, что число всех возможных вариантов сочетания элементов будет:

, (2)

где - число элементов в системе.

Тогда для системы (рис.1, а) имеем и .

Составим расчетную табл. 1.

Таблица 1

№ варианта	Номера отказавших элементов	Состояние элемента	Состояние системы	Вероятность состояния системы
1-го	2-го	3-го
	1,2					-
	1,3					-
	2,3					-
	1,2,3					-

В колонке 1 - номера вариантов: с 1-го по 8-й. В колонке 2 записаны номера отказавших элементов. В колонках 3, 4 и 5 – состояние 1, 2 и 3-го элементов. Элементы могут быть только в двух состояниях: работоспособном и отказа. Символом «1» обозначено работоспособное состояние элемента, а символом «0» – состояние отказа. В колонке 6 указано состояние системы с такой же символикой. Система работоспособна, если работоспособны 2 из 3-х ее элементов. В колонке 7 вероятность состояния системы получена перемножением вероятностей состояний элементов данного варианта системы.

Просуммируем все вероятности работоспособных состояний системы:

. (3)

Учитывая (1), имеем

. (4)

Если – вероятность безотказной работы системы, то вычисляется и среднее значение времени функционирования системы до отказа

. (5)

Комбинаторно-аналитический метод расчета надежности сложных систем.

Согласно формуле Бернулли вероятность функционирования из элементов имеет вид:

, (6)

где - число вариантов по элементов из общего числа элементов.

Для определения надежности системы надо просуммировать вероятности, обеспечивающие ее работоспособное состояние:

, (7)

.

Подставим в формулу (7) выражение (6):

или сокращенно

,

(8)

Для системы, представленной на рис.1, а, =2, =3. Тогда запишем

.

Так как ; ; , то получим

.

После преобразований получаем

. (9)

Получаем совпадение с формулой (4), полученной методом прямого перебора всех возможных состояний элементов.

Методы минимальных путей и минимальных сечений.

Минимальным путем называется последовательный минимальный набор работоспособных элементов данной системы, который обеспечивает функционирование системы, а отказ любого одного из этих элементов приводит к отказу системы.

Минимальным сечением называется последовательный минимальный набор неработоспособных элементов, который приводит к отказу системы, а восстановление одного из них приводит к восстановлению работоспособности всей системы.

В сложных системах может быть несколько минимальных путей и минимальных сечений.

Для системы, приведенной на рис.1, а:

минимальные пути: 1) 1, 2; 2) 1, 3; 3) 2, 3;

минимальные сечения: 1) 1, 2; 2) 1, 3; 3) 2, 3.

Для системы с последовательным соединением элементов имеется всего один путь и сечений, если - число элементов системы.

Для системы с параллельным соединением элементов число путей , т.е. равно числу элементов системы, а сечений - одно.

Для исследуемой системы необходимо выявить все минимальные пути или минимальные сечения. Далее необходимо составить фиктивную структурную схему соединения: для минимальных путей - параллельное соединение всех минимальных путей; для минимальных сечений – последовательное соединение всех минимальных сечений.

Составим фиктивные структурные схемы на основе минимальных путей (см. рис. 4) и минимальных сечений (см. рис.5) для системы, приведенной на рис.1, а.

Рис. 4. Фиктивная структурная схема на основе минимальных путей

Рис. 5. Фиктивная структурная схема на основе минимальных сечений

Составим условные системные функции для фиктивных схем, представленных на рис. 4 и 5.

Условная системная функция по рис. 4 имеет вид:

, (10)

где - показатель надежности элемента, , если элемент работоспособен и , если элемент неработоспособен; - номера элементов, .

Условная системная функция по рис.5 имеет вид:

. (11)

Особенностью условной системной функции является то, что она составлена на использовании альтернативных переменных, которые могут принимать значения 1 или 0. Следовательно, условная системная функция тоже может принимать значения 1 или 0. А это значит, что при решении уравнений (10) и (11) степени при не имеют значения, так как 1 и 0 в любых степенях дают 1 и 0.

Преобразование (10) и (11) и удаление степеней приведет к следующему:

. (12)

Далее условная системная функция, составленная для фиктивной схемы, заменяется функцией надежности первоначальной структурной схемы системы . Переменные заменяются соответствующими функциями , т.е. функциями надежности элементов. После замены функции и переменных в (12) придем к выражению следующего вида:

. (13)

К выражению (13) можно прийти как через минимальные пути, так и через минимальные сечения.

В частном случае, если

,

уравнение (13) можно записать в виде

. (14)

Такое же уравнение было получено и методом прямого перебора всех возможных состояний элементов и комбинаторно-аналитическим методом.

Пример. На рис.6 представлены различные варианты схем соединения компрессоров в компрессорном отделении установки. В схемах используются компрессоры производительностью , , . Производству требуется сжатый газ в количестве . Требуется определить:

1) Вид системы (в смысле надежности).

2) Произвести расчет надежности каждой системы, имея в виду, что надежность всех элементов одинакова и равна .

Схема 1 Схема 2

Схема 3 Схема 4

Рис. 6. Схемы соединений компрессоров

Схема 1. Чтобы иметь на выходе из системы производительность , необходимо, чтобы работали оба компрессора. Следовательно, элементы (в смысле надежности) соединены последовательно.

Надежность системы: .

Схема 2. Чтобы иметь на выходе из системы производительность , достаточно, чтобы работал один из компрессоров. Следовательно, элементы соединены параллельно.

Надежность системы: .

Схема 3. Чтобы иметь на выходе системы производительность , необходимо, чтобы работал каждый из компрессоров. Следовательно, элементы соединены последовательно.

Надежность системы: .

Схема 4. Чтобы иметь на выходе системы производительность , необходимо, чтобы работали два компрессора из трех, т.е. имеем систему «2 из 3-х».

Надежность системы: .

Вывод: самой надежной является компрессорная станция, представленная на схеме 2 с надежностью .