Методика и примеры решения задач

.

Рассмотрим примеры решения задач равновесия системы тел с применением указанных способов.

Пример 3.1

Найти реакции опор и давление в промежуточном шарнире С заданной на рис. 3.2 конструкции, которая состоит из невесомых угольника АС и стержня СВ. На конструкцию действуют пар сил с моментом М= 50 кН, распределена нагрузка с интенсивностью q= 10 кН/м, силы и . Известны размеры .

Решение

При рассмотрении равновесия всей конструкции, как абсолютно твердого тела, три уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, которые действуют на систему тел, будут содержать четыре неизвестные реакции: (см. рис. 3.2, а).

Для устранения статической неопределенности разделим систему в точке соединения С и рассмотрим равновесие каждой части конструкции отдельно.

Сначала рассмотрим в состоянии равновесия стержень ВС, так как на него кроме известной активной силы, действует три неизвестные реакции шарнира С и гладкой поверхности в точке В (см. рис. 3.2, б), то есть задача равновесия стержня является статически определенной.

Составим три уравнения равновесия действующей на стержень произвольной плоской системы сил, воспользовавшись основной формой условий равновесия:

Составляя последнее уравнение, воспользуемся при нахождении теоремой Вариньона о моменте равнодействующей. Для этого разложим силу на составляющие, одна из которых параллельна стержню, то есть линия ее действия проходит через точку С и ее момент , а другая перпендикулярная к стержню и имеет плечо относительно точки С, равное расстоянию b; ее момент .

Рассмотрим теперь равновесие угольника (рис. 3.2, в), к которому кроме активных сил приложим реакции жесткого защемления в точке А, и реакции шарнира С, направив последние противоположно реакциям балки ВС. Действие распределенной нагрузки заменим сосредоточенной силой (), приложив ее посредине участка действия нагрузки. Для плоской системы, которая действует на угольник, также составим три уравнения равновесия:

;

;

.

Рисунок 3.2

Учитывая, что и , как силы взаимодействия, установим, что системы шести составленных уравнений содержат шесть неизвестных реакций, то есть задача статически определена.

Решая систему этих уравнений, найдем из третьего уравнения:

(кН).

Теперь из первого и второго уравнения имеем:

;

.

Решаем уравнение системы равновесия угольника, подставляя туда вместо значения и с полученными знаками:

В соответствии со знаками реакций устанавливаем, что реакции и направленные противоположно изображенным на расчетных схемах направлениям.

С целью проверки правильности решения составим и развяжем одно из уравнений равновесия системы сил, действующих на всю конструкцию:

Следовательно, расчеты выполнены правильно.

Пример 3.2

На гладкой и блестящей горизонтальной поверхности стоит передвижная лестница, которая состоит из двух частей АВ и ВС, длиной 3м и весом Р = 120 Н каждая, соединенных шарниром С и веревкой ЕF так, что расстояние BF = АЕ = 1м. Центр веса каждой из частей АС, ВС находится в ее середине. В точке D на расстоянии CD = 0,6м стоит человек весом 720 Н. Определить реакции пола и шарнира и натяжение Т веревки EF, если угол ВАС = АВС = 45º.

Решение

Рассматривая лестницу как одно твердое тело (рис. 3.3,а), установим, что эта конструкция находится в состоянии равновесия под действием активных сил веса каждой из частей лестницы и веса человека, и реакций гладкой и блестящей поверхности пола.

Эти силы составляют плоскую систему параллельных сил, для какого условия равновесия содержат два уравнения. Так, как в эту систему сил входит две неизвестные реакции, то задача равновесия лестницы является статически определенной. Составим уравнение равновесия этих сил:

.

Из этих уравнений находим:

.

а) б)

Рисунок 3.3

Теперь рассмотрим равновесие части АС лестницы (рис. 3.3,б), на которую кроме активной силы веса действуют реакции гладкой и блестящей поверхности, веревки, шарнира. Для произвольной плоской системы сил составим уравнение равновесия:

Здесь применена вторая форма уравнений равновесия произвольной плоской системы сил, которая обеспечивает упрощение их решения, так как в каждом из уравнений, входит лишь одна неизвестная величина.

Определим неизвестные реакции, учитывая, что sin45º = cos45º = 0,707.

.

Выполним проверку, убедившись, что выполняется уравнение равновесия для сил, прилагаемых ко всей конструкции:

Отсюда, с учетом того, что, вычисляем:

Следовательно, расчеты выполнены правильно.

Раздел 1 КИНЕМАТИКА