Решите задачу (7 баллов)

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

Учебный год

Класс

Максимальный балл – 35

Ответы к заданиям

Решите задачу (7 баллов)

Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют прямой угол?

Решение. В сутки часовая стрелка делает два оборота, а минутная – 24 (на 22 оборота больше). В течение каждого такого оборота есть два момента времени, когда стрелки образуют прямой угол.

Ответ: 44

Оценивание. За верное решение 7 баллов

Решите задачу (7 баллов)

Аня и Соня были правдивыми девушками и врали только в день своего рождения. Толя знает об этом. 11 ноября Толя спросил каждую из них: «Когда твой день рождения?» Аня сказала: «Он был вчера», а Соня сказала: «Он будет завтра». На следующий день Толя задал тот же вопрос и услышал такие же ответы. Может ли теперь Толя определить дань рождения каждой из девушек?

Решение. Одинаковые ответы девушек, которые они давали два дня подряд, говорят о том, что каждая из них солгала хотя бы один раз, а с учетом условия задачи - ровно один раз в день своего рождения. Значит, и Аня, и Соня родились 11 или 12 ноября. Разберём все возможные случаи.

Если Аня родилась 11 ноября, то 11 ноября она солгала, а 12 ноября сказала правду, как и должно быть по условию задачи. Если же Аня родилась 12 ноября, то она солгала дважды, чего не должно быть. Таким образом, Аня родилась 11 ноября.

Если Соня родилась 11 ноября, то она солгала дважды, чего не должно быть. Если же Соня родилась 12 ноября, то 11 ноября она сказала правду, а 12 ноября солгала, как и должно быть по условию. Таким образом, Соня родилась 12 ноября.

Замечание. Можно рассуждать по-другому. После того, как выяснено, что девушки родились 11 или 12 ноября, можно заметить, что они не могли родиться в один и тот же день (в этом случае они давали бы одинаковые ответы). Поэтому если мы узнали дату рождения одной из дедушек, то день рождения второй определяется автоматически.

Ответ: может. Аня родилась 11 ноября, а Соня – 12 ноября.

Оценивание. За верное решение 7 баллов. Если приведены верные рассуждения только по поводу одной из девушек – 4 балла. Если показано, что Аня могла родиться 11 ноября, но не показано, что она не родилась 12 ноября – 2 балла. Аналогично по Соню