Пример расчета надежности

Структурная схема надежности приведена на рисунке 1. Значения интенсивности отказов элементов даны в 1/год.

λ₁=λ₂=λ₃=λ₄=λ₅=0,35

λ₆=λ₇=λ₈=λ₉=λ₁₀=0,25

λ₁₁=λ₁₂=λ₁₃=λ₁₄=λ₁₅=0,05

λ₁₆=λ₁₇=λ₁₈=λ₁₉=λ₂₀=0,7

λ₂₁=λ₂₂=λ₂₃=λ₂₄=λ₂₅=λ₂₆=λ₂₇=λ₂₈=λ₂₉=0,55

γ=50%.

В исходной схеме все элементы образуют параллельное и последовательное соединение. Заменяем их соответствующими квазиэлементами, получим преобразованную схему системы, рисунок 2, и формулы для расчета надежности всей системы

1) р=1-(1-р_А)(1-р_Б)

2) р_А=р₁р_Вр₆р₇р_Г

3) р_б=р_Др_Ер₂₈р₂₉

4) р_В=1-(1-р₂)(1-р₃)(1-р₄)(1-р₅)

5) р_Г=1-(1-р_Ж)(1-р_З)(1-р_И)

6) р_Д=1-(1-р₁₄)(1-р_К)(1-р_Л)(1-р_М)(1-р₂₁)(1-р_Н)

7) р_Е=1-(1-р₂₄)(1-р₂₅)(1-р₂₆)(1-р₂₇)

8) р_Ж=р₈р₉

9) р_З=р₁₀р₁₁

10) р_И=р₁₂р₁₃

11) р_К=р₁₅р₁₆

12) р_Л=р₁₇р₁₈

13) р_М=р₁₉р₂₀

14) р_Н=р₂₂р₂₃

Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 29 подчиняются экспоненциальному закону:

(1)

Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1…29 исходной схемы для наработки до 2 лет представлены в таблице 1.

Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов по вышеприведенным формулам также представлены в таблице 1.

На рис. представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы р от времени (наработки) t.

По графику р на рисунке 6, находим для γ=50% (Р_γ=0,5) - процентную наработку системы Т_γ=1,27 года. По условиям задания повышенная γ - процентная наработка системы Т'_γ =1,5Т_γ =1,905 года.

Таблица 1

Расчет вероятности безотказной работы системы

Элемент	λ, год-1	Наработка t, лет
0,1	0,5			1,27	1,905
1-5	0,35	0,965605	0,839457	0,70468	0,496585	0,641145	0,513374
6-10	0,25	0,97531	0,882497	0,778801	0,606531	0,727967	0,621108
11-15	0,05	0,995012	0,97531	0,951229	0,904837	0,938474	0,909146
16-20	0,7	0,932394	0,704688	0,496585	0,246597	0,411067	0,263553
21-29	0,55	0,946485	0,759572	0,57695	0,332871	0,497331	0,350726
А		0,918498	0,652354	0,420048	0,162113	0,328196	0,178271
Б		0,895827	0,574908	0,320881	0,085418	0,22926	0,097703
В		0,999999	0,999336	0,992395	0,935775	0,983416	0,943924
Г		0,999986	0,998497	0,990295	0,948301	0,982238	0,953621
Д			0,999801	0,995878	0,961316	0,990126	0,965938
Е		0,999992	0,996659	0,967969	0,801921	0,936155	0,82229
Ж		0,951229	0,778801	0,606531	0,367879	0,529935	0,385775
З		0,970446	0,860708	0,740818	0,548812	0,683178	0,564678
И		0,99005	0,951229	0,904837	0,818731	0,880734	0,826546
К		0,927743	0,687289	0,472367	0,22313	0,385775	0,239608
Л		0,869358	0,496585	0,246597	0,06081	0,168976	0,06946
М		0,869358	0,496585	0,246597	0,06081	0,168976	0,06946
Н		0,895834	0,57695	0,332871	0,110803	0,247338	0,123009
р		0,99151	0,852218	0,606143	0,233683	0,482214	0,258557
Б'		0,963533	0,827583	0,664922	0,366778	0,57835	0,391474
28', 29'	0,1857	0,981601	0,91133	0,830523	0,689768	0,789908	0,702044
Продолжение таблицы 1
р'		0,997028	0,94006	0,805671	0,716734	0,499957	0,469432
Б''		0,999685	0,968955	0,823532	0,38108	0,706405	0,418986
Р''		0,999974	0,989207	0,897657	0,481415	0,802762	0,522564

Расчет, представленный в таблице 1, показывает, что при t=1,905 года для элементов преобразованной схемы, рисунок 2 р_А=0,178271, р_Б=0,097703. Следовательно, минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент Б и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом. В свою очередь элемент Б состоит из последовательно соединенных элементов Д, Е, 28, 29 (р_Д=0,965938, р_Е=0,82229, р₂₈=р₂₉=0,497331). Из них минимальные значения вероятности безотказной работы имеют элементы 28, 29.

Для того, чтобы при Т'_γ=1,905 года система в целом имела вероятность безотказной работы р_γ=0,5, необходимо, чтобы элемент Б имел вероятность безотказной работы

Отсюда надежность элементов 28, 29 должна быть равна

р₂₈=р₂₉= =0,702

Так как по условиям задания все элементы работают в периоде нормальной эксплуатации и подчиняются экспоненциальному закону (1), то для элементов 28, 29 при t=1,905 года находим

год .

Таким образом, для увеличения - процентной наработки системы необходимо увеличить надежность элементов 28 и 29 и снизить интенсивность их отказов с 0,55 до 0,1857 год^-1, т.е. в 2,96 раза.

Для второго способа увеличения вероятности безотказной работы системы - структурного резервирования - по тем же соображениям также выбираем элемент Б, вероятность безотказной работы которого после резервирования должна быть не ниже р"_Б=0,3915.

Для элемента Б – резервирование означает увеличение общего числа элементов. Аналитически определить минимально необходимое количество элементов невозможно, т.к. число элементов должно быть целым и функция р_Б=f(n) дискретна.

Для повышения надежности системы добавляем к ней элементы, идентичные по надежности исходным элементам 28, 29, до тех пор, пока вероятность безотказной работы квазиэлемента Б не достигнет заданного значения. На первом шаге резервируем элементы 28 и 29 элементами с такой же интенсивностью отказов 28' и 29'.

р=р_Др_Е(1-(1-р₂₈)(1-р_28'))(1-(1-р₂₉)(1-р_29'))=0,3967

Так как надежность р=0,3967<0,5 то добавляем еще пару резервных элементов 28" и 29" тогда

р=р_Др_Е(1-(1-р₂₈)(1-р_28')(1-р_28''))(1-(1-р₂₉)(1-р_29')(1-р_29'')=0,5225

Надежность системы р=0,5225>0,5 следовательно данная схема удовлетворяет поставленным условиям.

Таким образом, для повышения надежности до требуемого уровня необходимо в исходной схеме, рисунок 1, систему достроить элементами 28', 29', 28'', 29'',

Результаты расчетов вероятностей безотказной работы системы Б'' и системы в целом р'' представлены в таблице 1, а структурная схема после резервирования представлена на рисунке 4.

Расчеты показывают, что при t=1,905 ч р''=0,5226>0,5, что соответствует условию задания.

На рисунке 3 нанесены кривые зависимостей вероятности безотказной работы системы после повышения надежности элементов 28 и 29 (кривая р') и после структурного резервирования (кривая р").

Выводы:

Анализ зависимостей вероятности безотказной работы системы от времени (наработки) показывает, что второй способ повышения надежности системы (структурное резервирование) предпочтительнее первого, так как в период наработки до 1,905 лет вероятность безотказной работы системы при структурном резервировании (кривая р") выше, чем при увеличении надежности элементов (кривая р').