Варіант 35

Таблиця 3. Початкові дані

Компоненти напруженого стану, МПа	Орієнтація наклонної площадки	Орієнтація суміжної системи координат
						,°	,°
20.5	2.3	4.1	31.0	-5.2	14.4				90°

1. Тензор напружень в матричній формі і його наочне уявлення:

, МПа

Рис. 5.1 Компоненти напруженого стану

2. Проекції вектора одиничної нормалі на координатні осі початкової системи:

3. Проекції вектора повного напруження на нахиленій площадці на осі початкової системи координат. Вектор повного напруження на нахиленій площадці можна представити розкладанням по ортам початкової системи координат

при цьому його проекції визначаються формулами

тому МПа; МПа; МПа.

4. Проекції вектора повного напруження на нахиленій площадці на осі суміжної системи. Якщо вектор повного напруження представити в суміжному базисі

то його проекції визначаються за правилом перетворення компонент вектора при повороті координатної системи

при цьому матриця направляючих косинусів ортів поверненої системи відносно початкової, як випливає

з рис. 5.2, має елементи:

	x	y	z
x'	l 1	m 1	n 1
y'	l 2	m 2	n 2
z'	l 3	m 3	n 3

Рис. 5.2 - Початкова і суміжна

системи координат

Для контролю можна переконатися в тому, що сума квадратів елементів будь-якого рядка і будь-якого стовпця матриці дорівнює одиниці.

Проекції вектора повного напруження:

МПа; МПа; МПа.

5. Визначення величини повного напруження на нахиленій площадці, його нормальної і дотичної складових. Величина повного напруження визначається по значеннях його проекцій в початковій системі координат

(МПа)

Аналогічно можна одержати довжину вектора по проекціях в суміжній системі координат

(МПа)

Збіг результатів ілюструє інваріантність вектора і підтверджує правильність підрахунків. Нормальне напруження на нахиленій площадці визначається формулою

(МПа)

Дотичне напруження на тій же площадці:

(МПа)

6. Розкладання тензора напружень на кульову і девіаторні складові. Тензор напружень може бути представлений у вигляді суми кульового тензора і девіатора :

де (МПа) - середнє нормальне напруження. Кульовий тензор і девіатор в матричній формі має вигляд у даному випадку:

МПа; МПа.

7. Підрахунок інваріантів тензора напружень :

1-й інваріант: (МПа);

2-й інваріант:

(МПа);

3-й інваріант:

(МПа).

8. Визначення головних напружень. Головні напруження визначаються як корінь кубічного рівняння . Рішення може бути одержано в тригонометричній формі з використанням допоміжних величин

(МПа); (МПа); . Три корені кубічного рівняння визначаються по формулах .

В результаті підрахунку коренів і розташування їх у порядку убування виходять значення головних напружень:

МПа; МПа; МПа.

По знайдених головних напруженнях визначаються значення інваріантів:

(МПа);

(МПа);

(МПа).

Збіг з результатами п. 7 підтверджує правильність визначення головних напружень.

9. Визначення орієнтації головних площадок. Орієнтація кожної з головних площадок визначається проекціями одиничної нормалі, що вказує відповідний головний напрям тензора напружень. Для -ої головної площадки проекції одиничної нормалі задовольняють відповідній системі лінійних алгебраїчних рівнянь

з додатковими умовами

У приведених співвідношеннях - значення головних напружень. Кожна з трьох систем рівнянь (k=1,2,3) лінійно залежна, оскільки її визначник дорівнює нулю:

det

Це значить, що одна з невідомих, наприклад (або, аналогічно, чи ), може бути виключена шляхом підстановки . Даний прийом виправданий тим, що , оскільки інакше дана головна площадка повинна бути паралельна осі Оz, звідки витікає, що і перпендикулярна до Оz координатна площадка буде головною. Останнє неможливе по умові завдання, оскільки на цій площадці є дотичні напруження.

В результаті вказаної підстановки система рівнянь набуває вигляду:

Коефіцієнти а і b можуть бути знайдені по правилу Крамера з будь-яких двох рівнянь, наприклад з 1-го і 2-го:

Тоді, відповідно до додаткової умови, визначається

, а потім і .

Для першої головної площадки з нормаллю =32.60 МПа:

= - 0.384; = -3.803; = 0.253; = -0.097; = -0.0963.

Для другої площадки =22.553 МПа:

= 2.059; = 0.055; = 0.437; = 0.899; = 0.024.

Для третьої площадки =10.747 МПа:

= - 0.494; = 0.313; = 0.863; = -0.427; = 0.270.

Ортогональність головних напрямів перевіряється шляхом підрахунку скалярних добутків відповідних векторів:

Одержаний результат підтверджує правильність визначення орієнтації головних площадок.

Проекції одиничного вектора нормалі до - головної площадки є його направляючими косинусами, що дозволяє знайти величину кутів між -м головним напрямом і осями початкової системи координат: =95.58°; =164.27°; =75.34°; =25.94°; =86.62°; =64.10°; =115.25°; =74.33°; =30.32°.

10. Визначення компонент напруженого стану відносно головних осей. У системі прямокутних координат, осі якої суміщені з головними напрямами тензора , його компоненти визначаються за правилом перетворення компонент тензора 2-го рангу:

;

;

;

,

при цьому елементи матриці вже знайдені в п.9. Тому =32.60(МПа); =0; =0; =22.553(МПа); =0; =10.747 (МПа).

Таким чином, тензор напружень відносно головних осей має вигляд:

, МПа

11. Визначення напружень на октаедричній площадці. Октаедрична площадка, що проходить через дану точку, однаково нахилена до головних осей 1,2,3, як показано на рис. 5.3. Це значить, що одинична нормаль в даній системі координат має компоненти, рівні . Тому проекції вектора повного напруження на цій площадці визначаються аналогічно п. 3

Рис. 5.3. Октаедрична площадка

Тоді, відповідно до п. 5, можна знайти величини повного, нормального і дотичного октаедричних напружень, виразив їх через головні напруження:

=23.713 (МПа); =21.967 (МПа); =8.931 (МПа).

12. Побудова кругової діаграми Мора для напружень. Визначення максимального дотичного напруження і нормального напруження на відповідній площадці. Кругова діаграма Мора є сукупність точок площини, координати яких рівні нормальному і дотичному напруженням на всіляких площадках, що проходять через дану точку навантаженого тіла. Ця сукупність точок обмежена трьома напівколами, діаметри яких рівні різницям головних напружень, як показано на рис. 5.4. Відповідно до діаграми максимальне дотичне напруження =10.927 (МПа).

Рис. 5.4 Кругова діаграма Мора

На площадці максимального дотичного напруження є і нормальне напруження, яке дорівнює =21.674 (МПа).