Примеры решения типовых задач. Пример 1. Используя разностное уравнение (18) найти приближённое решение уравнения теплопроводности:

Пример 1. Используя разностное уравнение (18) найти приближённое решение уравнения теплопроводности:

(1)

удовлетворяющее следующим начально-краевым условиям:

начальное условие: u (x, 0) = y (x) = sin(p x), 0 £ x £ 1 (4)

краевые условия: (для 0 £ t £ 0.025).

u (0, t) = j ₁(t) = 0 (2)

u (1, t) = j ₂(t) = 0. (3)

Решение: Напоминаем, что разностное уравнение:

(18)

является частным случаем (соответствующим случаю s = l / h ² = 1/2) общей явной разностной схемы:

(15)

полученной для отыскания решения u (t, x) уравнения теплопроводности (1) с явной схемой узлов (рис. 2 а):

Рис. 2 a – явная схема узлов для уравнения теплопроводности.

Как отмечалось выше, в этом случае разностная схема (18) представляет собой формулу для непосредственного вычисления приближённых значений искомой функции u_{i , j+ 1} для очередного (j + 1)-ого временного слоя на основе приближённых значений искомой функции u_{i- 1, j}; u_{i , j}; u_{i+ 1, j} на предыдущем j -ом временном слое.

Для решения задачи выберем по аргументу x шаг h = 0.1; Поскольку уравнение (18) получено из общей схемы (15) при s = l / h ² = 1/2, то шагу h = 0.1 по оси x соответствует шаг l = h ²/2 = 0.005 по аргументу t.

Прежде чем продолжать решать задачу дальше, необходимо обратить внимание на симметрию заданных начальных условий на интервалах изменения пространственной переменной (0 £ x £ 1). Так из начального условия (4) видно, что значения искомого решения в момент времени t = 0 симметричны относительно центра отрезка (0 £ x £ 1). Действительно, при выбранном шаге h = 0.1 на отрезке (0 £ x £ 1) для начальных значений решения u (x, 0) = sin(p x) по оси x имеем:

x		0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
sin(p x)		0.3090	0.5878	0.8090	0.9511	1.0000	0.9511	0.8090	0.5878	0.3090

Прежде чем продолжать решать задачу дальше, необходимо обратить внимание на симметрию заданных начальных и краевых условий на интервалах изменения пространственной (0 £ x £ 1) и временной (0 £ t £ 0.025) переменных.

Заключение (план - аннотация лекции №29).

В лекции 29 рассмотрена идея применения метода сеток (или метода конечных разностей) для решения простейших краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типа.

Подробно изложена методика использования метода сеток для решения краевых задач для уравнений эллиптического типа, рассмотрены различные варианты связи узлов в «крестообразных» шаблонах прямоугольных сеток. Приведена оценка погрешности разностного метода решения задачи Дирихле.

Рассмотрена идея аппроксимации граничных условий для решения задачи Дирихле в случае, когда не все граничные узлы сетки лежат на границе расчётной области, в том числе и для случаев построения сеток с «перекрытием» расчётных областей.

На примере третьей краевой задачи для уравнений эллиптического типа обсуждаются подходы, используемые при аппроксимации граничных условий для других граничных условий, встречающихся при решении краевых задач для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка.

Приведены примеры решения типовых задач для уравнений эллиптического типа как для случая прямоугольных, так и для случая криволинейных расчётных областей.

Литература:

1. И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Т. 2. – М.: Физматгиз, 1962. – 620 с.

2. В.М. Вержбицкий. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002. – 840 стр.

3. Н.В. Копчёнова, И.А. Марон. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972. – 368 с.

4. В.Ф. Формалёв, Д.Л. Ревизников. Численные методы. – М.: Физматлит, 2004. 400 с.

5. Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. Численные методы анализа.
– М.: Наука, 1967. – 368 с.