Примеры решения типовых задач

Пример. Решить экстраполяционным методом Адамса уравнение:

(33)

с начальным условием y (1) = 2.70 на интервале [1; 2.25], принимая h = 0.25. В качестве разгонных точек x ₀, x ₁, x ₂, x ₃ и соответствующих решений y ₀, y ₁, y ₂, y ₃ для реализации метода Адамса взять значения, полученные методом Эйлера в точках: x ₁, x ₂, x ₃. Все вычисления вести с тремя верными в узком смысле знаками.

Решение. Вычислительная схема экстраполяционного метода Адамса определяется выражением:

(10)

Поскольку на основе разгонных данных для функции f (x_i, y_i) можно вычислить только конечные разности до третьего порядка включительно: D f_i; D² f_i; D³ f_i, то для решения данной задачи формула (10) перепишется в виде:

Далее в соответствии с условием задачи по методу Эйлера на интервале
[1; 1.75] с шагом h = 0.25 необходимо найти приближённые значения решения y ₁, y ₂, y ₃ данного уравнения. Для этого используется численная схема, определяемая уравнением:

, i = 0, 1, …, n

Очевидно, что для получения необходимых разгонных данных метода Адамса: y ₁» y (1.25); y ₂» y (1.5); y ₃» y (1.75) по методу Эйлера необходимо реализовать трёхшаговый вычислительный процесс.

Шаг 1:

В результате находим:

Шаг 2:

В результате находим:

Шаг 3:

В результате находим:

Таким образом, в качестве разгонных значений для метода Адамса имеем следующие приближённые значения решения:

x ₀ = 1, x ₁ = 1.25, x ₂ = 1.5, x _3. = 1.75,

y ₀ = 2.70; y ₁ = 2.36; y ₂ = 2.01; y ₃ = 1.67;

Далее в соответствии с требованиями метода Адамса на основе полученных расходных данных вычислим приближённые значения функции:

f (x_i, y_i) = i = 0, 1, 2, 3;

f (x ₀, y ₀) = f (1.00; 2.70) = - 1.35;

f (x ₁ y ₁) = f (1.25; 2.36) = - 1.42;

f (x ₂, y ₂) = f (1.50; 2.01) = - 1.34;

f (x ₃, y ₃) = f (1.75; 1.67) = - 1.19.

Далее для реализации метода Адамса на основе имеющихся данных составим для функции f (x_i, y_i) таблицу конечных разностей:

Таблица 2 Конечные разности функции f (x_i, y_i) i = 0, 1, 2, 3;

i	x i	y i	f i	D f i	D2 f i	D3 f i
	1.00   1.25   1.50   1.75   2.00   2.25	2.70   2.36   2.01   1.67   1.39   1.14	- 1.35   - 1.42   - 1.34   - 1.19   - 1.04	- 0.7   0.08   0.15   0.15	0.15   0.07   0.00	- 0.08   - 0.07

Теперь по формуле при h = 0.25 и i = 3

получим:

и подставляя из таблицы 2 соответствующие значения функции f (x ₃, y ₃) = f ₃ = - 1.19 и её конечных разностей: D f ₂ = 0.15; D² f ₁ = 0.07; D³ f ₀ = - 0.08; (которые в таблице 2 подчёркнуты) окончательно получим:

Далее на основе полученного приближённого значения y ₄ = 1.39; вычисляем значение f (x ₄, y ₄) = f (2.00; 1.39) = f ₄ = - 1.04; и конечные разности D f ₃ = 0.15; D² f ₂ = 0.00;
D³ f ₁ = - 0.07; (которые в таблице 2 обведены рамкой) окончательно получим при i = 4:

;

Этот вычислительный пошаговый процесс можно продолжать и далее…

Отметим, что для получения более точных результатов разгонные значения для метода Адамса целесообразно было бы получить более точным методом, например, методом Рунге-Кутта четвёртого порядка. Здесь мы использовали метод Эйлера исключительно из-за его просты.

§5. Метод Милна четвёртого порядка.

Ещё одним методом прогноза и коррекции, используемым на практике, является метод Милна, в рамках которого имеется две формулы – первая и вторая формулы Милна, которые используются соответственно для предсказания и уточнения (коррекции) искомого решения y (x) задачи Коши.

5.1 Первая формула Милна – формула предсказания.

Снова строим численный методы решения начальной задачи.

y ¢(x) = f (x, y), x Î [ x ₀, b ] (1)

y (x ₀) = y ₀ (2)

При этом считаем, что в узлах x_{i– 3}, x _{i– 2}, x_{i– 1}, x_i (т.е. в разгонных точках) уже получены приближённые значения функции y (x) и f (x, y (x) ):

yi- 3» y (xi- 3), yi- 2» y (xi- 2), yi- 1» y (xi- 1), yi» y (xi).

fi- 3 = f (xi- 3, yi- 3)» f (xi- 3, y (xi- 3)), fi- 2 = f (xi- 2, yi- 2)» f (xi- 2 y (xi- 2)), fi- 1 = f (xi- 1, yi- 1)» f (xi- 1, y (xi- 1)), fi = f (xi, yi)» f (xi, y (xi)).

Проинтегрируем уравнение (3) на промежутке [ x_{i- 3}, x_{i+ 1}], содержащем узлы
x_{i– 3}, x _{i– 2}, x_{i– 1}, x_i:

(34)

В выражении (34) функцию f (x, y (x)) заменим первым интерполяционным полиномом Ньютона третьей степени P₃ (x) с базовой точкой x _{i- 3}, построенным по четырём узлам x_{i– 3}, x _{i– 2}, x_{i– 1}, x_i

P₃ (x _{i- 3} + qh) = f _{i- 3} + q D f _{i- 3} + + . (35)

При подстановке в выражение (34) полинома (35), зависящего от переменной , в интеграле формулы (34) необходимо сделать замену переменной:
x ® x _{i- 3} + qh; в соответствии с которой:

.

Поэтому в результате выражение (34) перепишется в следующем виде:

Отсюда, выразив конечные разности через значения функции f (x, y):

;

,

получим первую явную формулу (предсказания) Милна четвёртого порядка:

, (36)

которая, очевидно, является экстраполяционной, поскольку делает предсказание решения y (x_{i +1}) на основе интерполяционного полинома, построенного по узлам
x_{i– 3}, x _{i– 2}, x_{i– 1}, x_i. Далее в лекции, полученные по формуле предсказания (36) приближённые значения y_i для искомого решения y (x _i), будем обозначать как .

Оценка шаговой погрешности первой формулы Милна.

Главный член локальной погрешности формулы (36) можно найти при интегрировании первого из неучтённых в (35) слагаемого интерполяционного полинома Ньютона:

Считая значения четвёртых разностей примерно одинаковым в используемой области таблицы конечных разностей функции f_i, опустим индекс у функции f в записи ; в результате получим следующее приближённое представление решения в точке x _{i+ 1} на основе первой формулы Милна:

(37)

5.2 Вторая формула Милна – формула уточнения.

Проинтегрируем уравнение (3) на промежутке [ x_{i- 1}, x_{i+ 1}]:

и применим к интегралу простейшую формулу Симпсона:

, где x _i Î(x _i-1, x _i+1).

В результате получим:

(38)

Отбрасывая в формуле (38) слагаемое , характеризующее ошибку квадратурной формулы Симпсона и заменяя значения решения y (x _{i- 1}) и y (x _i) известными приближёнными значениями y _{i- 1} и y _i, а стоящее в правой части (38) в качестве аргумента функции f (x _{i+ 1}, y (x _{i+ 1})) значение y (x_{i+ 1}) значением , полученным по первой (явной) формуле Милна (36), приходим ко второй интерполяционной (и неявной) формуле Милна – формуле уточнения.

(39)

Оценка шаговой погрешности второй формулы Милна.

Для вывода приближённой оценки шаговой погрешности метода Милна воспользуемся приближённым равенством, связывающим производные и конечные разности , где так же, как и в (37), - условная запись практически постоянных четвёртых разностей. Иногда в качестве величины в формуле берут максимальную четвёртую разность из четвёртых конечных разностей в используемой части таблицы конечных разностей.

Исходя из точного равенства (38), локальную погрешность получаемого с помощью формулы (39) приближённого значения y_{i+ 1} можно приближённо охарактеризовать величиной . Поэтому, сравнивая выражения (38) и (39), можем написать:

или (40)

Далее приравнивая правые части выражений (37) и (40):

» и

получим:

(41)

Следовательно, сравнивая выражения (40) и (41), окончательно получаем:

(42)

Таким образом, при численном интегрировании начальной задачи (1), (2) методом Милна четвёртого порядка, определяемым формулами (36), (39), на каждом i - м шаге следует вычислять величину

(43)

и сравнивать её модуль с величиной e > 0 допустимой шаговой погрешности. Если
½ d_{i+ 1}½< e, то за y (x_{i+ 1}) принимается полученное по второй формуле Милна (39) значение y_{i+ 1} (или его уточнённое значение y_{i+ 1} º y_{i+ 1} + d_{i+ 1}); иначе шаг должен быть уменьшен.

Фигурирующая в приближённом равенстве (42) постоянная 1/29 примерно в двое меньше постоянной (19/270)» (1/14) в аналогичном равенстве

y (x _{i+ 1}) - y^М_{i+ 1} = (y^М_{i+ 1} - y^Б_{i+ 1}). (33)

для предиктор-корректорного метода Адамса четвёртого порядка

(28)

это характеризует метод Милна как несколько более точный при одинаковых вычислительных затратах.

§6. Сведение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка к задаче Коши для ОДУ первого порядка с использованием векторных обозначений.

Пусть имеется система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешённых относительно производных. Задача Коши для такой системы дифференциальных уравнений формулируется в следующем виде:

(45)

Введём следующие векторные обозначения:

(46)

Используя введённые векторные обозначения (46) задача Коши (44), (45) для системы дифференциальных уравнений первого порядка (44) может быть переписана в виде:

, (47)

который имеет точно такую же форму, как и рассматриваемая выше задача Коши:

y ¢(x) = f (x, y), x Î [ x ₀, b ] (1)

y (x ₀) = y ₀ (2)

К полученному векторному дифференциальному уравнению (47) применимы все численные методы, изучавшиеся в рамках данной темы, поскольку все рассмотренные методы имеют линейную структуру (т.е. если реализацию какого-либо из рассмотренных методов решения задач Коши представить как действие соответствующего линейного оператора).

При таком подходе скалярными величинами в формулах, определяющих методы, являются только независимая переменная x и расчётный шаг h; всем остальным величинам соответствуют введённые выше векторные величины размерности n.

Следует лишь учесть, что в этом случае при контроле пошаговой или глобальной точности методов вместо модуля нужно использовать норму вектора (например, норму - максимум).

Заключение (план - аннотация лекции №24).

В лекции 24 рассмотрены приближённые методы решения задачи Коши, основанные на интегрировании ДУ и последующей замене подынтегральной функции интерполирующим полиномом соответствующего порядка, данные методы известные в литературе под общим названием многошаговых методов Адамса.

Дан вывод формул экстраполяционного метода Адамса, рассмотрен подход к оценке его точности. Приведён интерполяционный метод Адамса, рассмотрены его частные случаи. Рассмотрены предиктор-корректорные методы Адамса, дан метод осуществления пошагового контроля погрешности вычислений при их применении.

Ещё одним методом прогноза и коррекции, рассмотренным в лекции, является метод Милна, в рамках которого получены две формулы – первая и вторая формулы Милна, которые используются соответственно для предсказания и уточнения (коррекции) искомого решения y (x) задачи Коши. Обсуждается роль первой и второй формулы Милна в процессе формирования решения задачи Коши для ОДУ. Дана оценка шаговой (локальной) погрешности метода Милна.

Сформулирована задача Коши для системы ОДУ первого порядка и дифференциального уравнения второго порядка. Дана схема сведение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка к виду задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Приведены примеры решения типовых задач.

Литература:

1. В.М. Вержбицкий. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002. – 840 стр.

2. Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Численные методы: Учебное пособие / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. – М.: МЭСИ М., 2003. – 102 стр.

3. Приклонский В.И. Численные методы. Лекционный курс, читаемый в МГУ. Адрес в Интернете ttp://afrodita.phys.msu.ru/download/priklonsky/lections/

Вопросы по теме

«Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений».

(Лекции 22 - 24)

1. Основные определения и постановка задачи Коши для ОДУ: Определение ОДУ; уравнение, разрешённое относительно производной; начальная задача; начальные условия; геометрическая интерпретация задачи Коши; Классификация приближенных методов. Теорема об эквивалентности задачи Коши соответствующему интегральному уравнению. Метод последовательных приближений Пикара, его основные свойства.

2. Метод Эйлера. Общая характеристика метода Эйлера в классе численных методов решения задачи Коши. Геометрическая интерпретация метода Эйлера - метод ломаных. Квадратурный подход к выводу метода Эйлера. Модификации метода Эйлера (неявный или обратный метод Эйлера, метод трапеций, Метод Хьюна). Исправленный метод Эйлера, его достоинства и недостатки.

3. Методы решения задачи Коши с помощью формулы Тейлора. Исправленный метод Эйлера, его достоинства и недостатки. Методы Рунге-Куттакак способ модификации исправленного метода Эйлера.Вывод формул семейства методов Рунге-Кутта первого и второго порядка. Геометрическая интерпретация метода Рунге-Кутта второго порядка. Формулы для семейства методов Рунге-Кутта четвёртого порядка. Рекомендации по использованию методов Рунге-Кутта. Свойства сходимости и точности методов Рунге-Кутта.

4. Многошаговые методы Адамса. Экстраполяционный метод Адамса, подходы к оценке его точности. Интерполяционный метод Адамса и его частные случаи. Предиктор-корректорные методы Адамса, осуществление пошагового контроля погрешности вычислений при их применении.

5. Метод Милна. Первая и вторая формула Милна, их роль в процессе формирования решения задачи Коши для ОДУ. Оценка шаговой (локальной) погрешности метода Милна.

6. Разностные аппроксимации задачи Коши. Разностный способ решения задачи Коши. Разностные схемы на основе аппроксимации первой производной. Понятие устойчивости вычислительного процесса и сходимости разностной схемы. Локальные и глобальные ошибки вычислительных процессов решения начальных задач для ОДУ. Связь локальной и глобальной ошибки. Оценка глобальной ошибки численной схемы решения задачи Коши для ОДУ на основе метода Эйлера.

7. Задача Коши для системы ОДУ первого порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Сведение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка к виду задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Сведение дифференциальных уравнений высших порядков к соответствующим задачам Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка.